Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64792 / 45816
↖ ↑ ↗
← N 47.532038°
W  2.043457°		 ← 206.17 m → N 47.532038°
W  2.040711°		 →
↑
206.23 m
↓
↑
206.23 m
↓
N 47.530184°
W  2.043457°		 ← 206.18 m →
42 520 m²		 N 47.530184°
W  2.040711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494327545166016 y=0.349552154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494327545166016 × 217)
    floor (0.494327545166016 × 131072)
    floor (64792.5)     		tx = 64792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349552154541016 × 217)
    floor (0.349552154541016 × 131072)
    floor (45816.5)     		ty = 45816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64792 / 45816 ti = "17/64792/45816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64792/45816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64792 ÷ 217
    64792 ÷ 131072     		x = 0.49432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45816 ÷ 217
    45816 ÷ 131072     		y = 0.34954833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03566505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34954833984375 × 2 - 1) × π
    0.3009033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.945315660507507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03566505} λ = -0.03566505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.945315660507507))-π/2
    2×atan(2.57362564235819)-π/2
    2×1.20019344718324-π/2
    2.40038689436649-1.57079632675     		φ = 0.82959057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03566505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82959057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.532038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64792 KachelY 45816 -0.03566505 0.82959057 -2.043457 47.532038
    Oben rechts KachelX + 1 64793 KachelY 45816 -0.03561712 0.82959057 -2.040711 47.532038
    Unten links KachelX 64792 KachelY + 1 45817 -0.03566505 0.82955820 -2.043457 47.530184
    Unten rechts KachelX + 1 64793 KachelY + 1 45817 -0.03561712 0.82955820 -2.040711 47.530184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82959057-0.82955820) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dl = 206.229270000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82959057-0.82955820) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dr = 206.229270000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03566505--0.03561712) × cos(0.82959057) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.675177834738401 × 6371000     		do = 206.1736742267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03566505--0.03561712) × cos(0.82955820) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.67520171227685 × 6371000     		du = 206.180965520312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82959057)-sin(0.82955820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675177834738401-0.67520171227685)×R²
    abs(-0.03561712--0.03566505)×2.38775384489021e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.38775384489021e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.38775384489021e-05×40589641000000     		ar = 42519.798171731m²