Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64789 / 44967
↖ ↑ ↗
← N 49.082862°
W  2.051697°		 ← 200 m → N 49.082862°
W  2.048950°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
N 49.081062°
W  2.051697°		 ← 200.01 m →
40 011 m²		 N 49.081062°
W  2.048950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494304656982422 y=0.343074798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494304656982422 × 217)
    floor (0.494304656982422 × 131072)
    floor (64789.5)     		tx = 64789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343074798583984 × 217)
    floor (0.343074798583984 × 131072)
    floor (44967.5)     		ty = 44967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64789 / 44967 ti = "17/64789/44967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64789/44967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64789 ÷ 217
    64789 ÷ 131072     		x = 0.494300842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44967 ÷ 217
    44967 ÷ 131072     		y = 0.343070983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494300842285156 × 2 - 1) × π
    -0.0113983154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03580886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343070983886719 × 2 - 1) × π
    0.313858032226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.986014088284935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03580886} λ = -0.03580886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986014088284935))-π/2
    2×atan(2.68052879944532)-π/2
    2×1.21372693153038-π/2
    2.42745386306076-1.57079632675     		φ = 0.85665754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03580886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.051697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85665754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.082862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64789 KachelY 44967 -0.03580886 0.85665754 -2.051697 49.082862
    Oben rechts KachelX + 1 64790 KachelY 44967 -0.03576093 0.85665754 -2.048950 49.082862
    Unten links KachelX 64789 KachelY + 1 44968 -0.03580886 0.85662614 -2.051697 49.081062
    Unten rechts KachelX + 1 64790 KachelY + 1 44968 -0.03576093 0.85662614 -2.048950 49.081062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85665754-0.85662614) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85665754-0.85662614) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03580886--0.03576093) × cos(0.85665754) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.65496687737528 × 6371000     		do = 200.002015258054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03580886--0.03576093) × cos(0.85662614) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.654990604700638 × 6371000     		du = 200.009260682292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85665754)-sin(0.85662614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65496687737528-0.654990604700638)×R²
    abs(-0.03576093--0.03580886)×2.37273253579362e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.37273253579362e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.37273253579362e-05×40589641000000     		ar = 40011.0078758212m²