Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64785 / 48845
↖ ↑ ↗
← N 41.613389°
W  2.062683°		 ← 228.35 m → N 41.613389°
W  2.059936°		 →
↑
228.34 m
↓
↑
228.34 m
↓
N 41.611335°
W  2.062683°		 ← 228.36 m →
52 141 m²		 N 41.611335°
W  2.059936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494274139404297 y=0.372661590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494274139404297 × 217)
    floor (0.494274139404297 × 131072)
    floor (64785.5)     		tx = 64785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372661590576172 × 217)
    floor (0.372661590576172 × 131072)
    floor (48845.5)     		ty = 48845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64785 / 48845 ti = "17/64785/48845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64785/48845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64785 ÷ 217
    64785 ÷ 131072     		x = 0.494270324707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48845 ÷ 217
    48845 ÷ 131072     		y = 0.372657775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494270324707031 × 2 - 1) × π
    -0.0114593505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03600061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372657775878906 × 2 - 1) × π
    0.254684448242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.800114791558357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03600061} λ = -0.03600061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.800114791558357))-π/2
    2×atan(2.22579641646749)-π/2
    2×1.14854348795199-π/2
    2.29708697590398-1.57079632675     		φ = 0.72629065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03600061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.062683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72629065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.613389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64785 KachelY 48845 -0.03600061 0.72629065 -2.062683 41.613389
    Oben rechts KachelX + 1 64786 KachelY 48845 -0.03595267 0.72629065 -2.059936 41.613389
    Unten links KachelX 64785 KachelY + 1 48846 -0.03600061 0.72625481 -2.062683 41.611335
    Unten rechts KachelX + 1 64786 KachelY + 1 48846 -0.03595267 0.72625481 -2.059936 41.611335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72629065-0.72625481) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dl = 228.336640000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72629065-0.72625481) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dr = 228.336640000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03600061--0.03595267) × cos(0.72629065) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.747642923028076 × 6371000     		do = 228.349393021629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03600061--0.03595267) × cos(0.72625481) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.747666723925615 × 6371000     		du = 228.356662428372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72629065)-sin(0.72625481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747642923028076-0.747666723925615)×R²
    abs(-0.03595267--0.03600061)×2.38008975393944e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38008975393944e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38008975393944e-05×40589641000000     		ar = 52141.3630902443m²