Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64785 / 48814
↖ ↑ ↗
← N 41.677015°
W  2.062683°		 ← 228.12 m → N 41.677015°
W  2.059936°		 →
↑
228.08 m
↓
↑
228.08 m
↓
N 41.674964°
W  2.062683°		 ← 228.13 m →
52 032 m²		 N 41.674964°
W  2.059936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494274139404297 y=0.372425079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494274139404297 × 217)
    floor (0.494274139404297 × 131072)
    floor (64785.5)     		tx = 64785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372425079345703 × 217)
    floor (0.372425079345703 × 131072)
    floor (48814.5)     		ty = 48814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64785 / 48814 ti = "17/64785/48814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64785/48814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64785 ÷ 217
    64785 ÷ 131072     		x = 0.494270324707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48814 ÷ 217
    48814 ÷ 131072     		y = 0.372421264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494270324707031 × 2 - 1) × π
    -0.0114593505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03600061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372421264648438 × 2 - 1) × π
    0.255157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.801600835446579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03600061} λ = -0.03600061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801600835446579))-π/2
    2×atan(2.22910650648898)-π/2
    2×1.14909872891236-π/2
    2.29819745782472-1.57079632675     		φ = 0.72740113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03600061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.062683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72740113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.677015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64785 KachelY 48814 -0.03600061 0.72740113 -2.062683 41.677015
    Oben rechts KachelX + 1 64786 KachelY 48814 -0.03595267 0.72740113 -2.059936 41.677015
    Unten links KachelX 64785 KachelY + 1 48815 -0.03600061 0.72736533 -2.062683 41.674964
    Unten rechts KachelX + 1 64786 KachelY + 1 48815 -0.03595267 0.72736533 -2.059936 41.674964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72740113-0.72736533) × R
    3.57999999999192e-05 × 6371000     		dl = 228.081799999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72740113-0.72736533) × R
    3.57999999999192e-05 × 6371000     		dr = 228.081799999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03600061--0.03595267) × cos(0.72740113) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.746904991383039 × 6371000     		do = 228.124009702874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03600061--0.03595267) × cos(0.72736533) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.746928795426101 × 6371000     		du = 228.131280070341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72740113)-sin(0.72736533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746904991383039-0.746928795426101)×R²
    abs(-0.03595267--0.03600061)×2.38040430625697e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38040430625697e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38040430625697e-05×40589641000000     		ar = 52031.7638808018m²