Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64784 / 45200
↖ ↑ ↗
← N 48.661943°
W  2.065430°		 ← 201.73 m → N 48.661943°
W  2.062683°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
N 48.660129°
W  2.065430°		 ← 201.74 m →
40 692 m²		 N 48.660129°
W  2.062683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494266510009766 y=0.344852447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494266510009766 × 217)
    floor (0.494266510009766 × 131072)
    floor (64784.5)     		tx = 64784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344852447509766 × 217)
    floor (0.344852447509766 × 131072)
    floor (45200.5)     		ty = 45200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64784 / 45200 ti = "17/64784/45200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64784/45200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64784 ÷ 217
    64784 ÷ 131072     		x = 0.4942626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45200 ÷ 217
    45200 ÷ 131072     		y = 0.3448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.011474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03604855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3448486328125 × 2 - 1) × π
    0.310302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.974844790673462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03604855} λ = -0.03604855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974844790673462))-π/2
    2×atan(2.65075575703682)-π/2
    2×1.21005372492886-π/2
    2.42010744985772-1.57079632675     		φ = 0.84931112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03604855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.065430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84931112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.661943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64784 KachelY 45200 -0.03604855 0.84931112 -2.065430 48.661943
    Oben rechts KachelX + 1 64785 KachelY 45200 -0.03600061 0.84931112 -2.062683 48.661943
    Unten links KachelX 64784 KachelY + 1 45201 -0.03604855 0.84927946 -2.065430 48.660129
    Unten rechts KachelX + 1 64785 KachelY + 1 45201 -0.03600061 0.84927946 -2.062683 48.660129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84931112-0.84927946) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84931112-0.84927946) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03604855--0.03600061) × cos(0.84931112) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.660500531290181 × 6371000     		do = 201.733863539681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03604855--0.03600061) × cos(0.84927946) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.660524302096939 × 6371000     		du = 201.741123755926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84931112)-sin(0.84927946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660500531290181-0.660524302096939)×R²
    abs(-0.03600061--0.03604855)×2.37708067586384e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37708067586384e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37708067586384e-05×40589641000000     		ar = 40691.634653856m²