Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64783 / 45199
↖ ↑ ↗
← N 48.663757°
W  2.068177°		 ← 201.73 m → N 48.663757°
W  2.065430°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
N 48.661943°
W  2.068177°		 ← 201.73 m →
40 690 m²		 N 48.661943°
W  2.065430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494258880615234 y=0.344844818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494258880615234 × 217)
    floor (0.494258880615234 × 131072)
    floor (64783.5)     		tx = 64783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344844818115234 × 217)
    floor (0.344844818115234 × 131072)
    floor (45199.5)     		ty = 45199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64783 / 45199 ti = "17/64783/45199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64783/45199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64783 ÷ 217
    64783 ÷ 131072     		x = 0.494255065917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45199 ÷ 217
    45199 ÷ 131072     		y = 0.344841003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494255065917969 × 2 - 1) × π
    -0.0114898681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03609649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344841003417969 × 2 - 1) × π
    0.310317993164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.974892727573082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03609649} λ = -0.03609649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974892727573082))-π/2
    2×atan(2.65088282909516)-π/2
    2×1.21006955581774-π/2
    2.42013911163548-1.57079632675     		φ = 0.84934278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03609649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.068177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84934278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.663757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64783 KachelY 45199 -0.03609649 0.84934278 -2.068177 48.663757
    Oben rechts KachelX + 1 64784 KachelY 45199 -0.03604855 0.84934278 -2.065430 48.663757
    Unten links KachelX 64783 KachelY + 1 45200 -0.03609649 0.84931112 -2.068177 48.661943
    Unten rechts KachelX + 1 64784 KachelY + 1 45200 -0.03604855 0.84931112 -2.065430 48.661943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84934278-0.84931112) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84934278-0.84931112) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03609649--0.03604855) × cos(0.84934278) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.660476759821366 × 6371000     		do = 201.726603121257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03609649--0.03604855) × cos(0.84931112) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.660500531290181 × 6371000     		du = 201.73386353971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84934278)-sin(0.84931112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660476759821366-0.660500531290181)×R²
    abs(-0.03604855--0.03609649)×2.37714688149371e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37714688149371e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37714688149371e-05×40589641000000     		ar = 40690.1702053327m²