Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64776 / 45831
↖ ↑ ↗
← N 47.504214°
W  2.087402°		 ← 206.28 m → N 47.504214°
W  2.084656°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
N 47.502359°
W  2.087402°		 ← 206.29 m →
42 555 m²		 N 47.502359°
W  2.084656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494205474853516 y=0.349666595458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494205474853516 × 217)
    floor (0.494205474853516 × 131072)
    floor (64776.5)     		tx = 64776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349666595458984 × 217)
    floor (0.349666595458984 × 131072)
    floor (45831.5)     		ty = 45831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64776 / 45831 ti = "17/64776/45831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64776/45831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64776 ÷ 217
    64776 ÷ 131072     		x = 0.49420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45831 ÷ 217
    45831 ÷ 131072     		y = 0.349662780761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03643204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349662780761719 × 2 - 1) × π
    0.300674438476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.944596607013206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03643204} λ = -0.03643204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944596607013206))-π/2
    2×atan(2.57177573301862)-π/2
    2×1.19995063831262-π/2
    2.39990127662524-1.57079632675     		φ = 0.82910495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03643204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.087402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82910495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.504214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64776 KachelY 45831 -0.03643204 0.82910495 -2.087402 47.504214
    Oben rechts KachelX + 1 64777 KachelY 45831 -0.03638411 0.82910495 -2.084656 47.504214
    Unten links KachelX 64776 KachelY + 1 45832 -0.03643204 0.82907257 -2.087402 47.502359
    Unten rechts KachelX + 1 64777 KachelY + 1 45832 -0.03638411 0.82907257 -2.084656 47.502359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82910495-0.82907257) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dl = 206.292979999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82910495-0.82907257) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dr = 206.292979999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03643204--0.03638411) × cos(0.82910495) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.67553597513043 × 6371000     		do = 206.283036703865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03643204--0.03638411) × cos(0.82907257) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.675559849425457 × 6371000     		du = 206.290327007059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82910495)-sin(0.82907257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67553597513043-0.675559849425457)×R²
    abs(-0.03638411--0.03643204)×2.38742950265936e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38742950265936e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38742950265936e-05×40589641000000     		ar = 42555.4943379168m²