Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64772 / 48796
↖ ↑ ↗
← N 41.713930°
W  2.098389°		 ← 227.99 m → N 41.713930°
W  2.095642°		 →
↑
227.95 m
↓
↑
227.95 m
↓
N 41.711880°
W  2.098389°		 ← 228 m →
51 973 m²		 N 41.711880°
W  2.095642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494174957275391 y=0.372287750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494174957275391 × 217)
    floor (0.494174957275391 × 131072)
    floor (64772.5)     		tx = 64772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372287750244141 × 217)
    floor (0.372287750244141 × 131072)
    floor (48796.5)     		ty = 48796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64772 / 48796 ti = "17/64772/48796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64772/48796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64772 ÷ 217
    64772 ÷ 131072     		x = 0.494171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48796 ÷ 217
    48796 ÷ 131072     		y = 0.372283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.01165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03662379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372283935546875 × 2 - 1) × π
    0.25543212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.80246369963974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03662379} λ = -0.03662379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.80246369963974))-π/2
    2×atan(2.23103075273838)-π/2
    2×1.14942087525239-π/2
    2.29884175050478-1.57079632675     		φ = 0.72804542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03662379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.098389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72804542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.713930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64772 KachelY 48796 -0.03662379 0.72804542 -2.098389 41.713930
    Oben rechts KachelX + 1 64773 KachelY 48796 -0.03657585 0.72804542 -2.095642 41.713930
    Unten links KachelX 64772 KachelY + 1 48797 -0.03662379 0.72800964 -2.098389 41.711880
    Unten rechts KachelX + 1 64773 KachelY + 1 48797 -0.03657585 0.72800964 -2.095642 41.711880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72804542-0.72800964) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dl = 227.95438000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72804542-0.72800964) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dr = 227.95438000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03662379--0.03657585) × cos(0.72804542) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.746476428140762 × 6371000     		do = 227.993115457465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03662379--0.03657585) × cos(0.72800964) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.746500236099253 × 6371000     		du = 228.000387020805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72804542)-sin(0.72800964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746476428140762-0.746500236099253)×R²
    abs(-0.03657585--0.03662379)×2.38079584908846e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38079584908846e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38079584908846e-05×40589641000000     		ar = 51972.8580763337m²