Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64771 / 45826
↖ ↑ ↗
← N 47.513491°
W  2.101135°		 ← 206.29 m → N 47.513491°
W  2.098389°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
N 47.511635°
W  2.101135°		 ← 206.30 m →
42 557 m²		 N 47.511635°
W  2.098389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494167327880859 y=0.349628448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494167327880859 × 217)
    floor (0.494167327880859 × 131072)
    floor (64771.5)     		tx = 64771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349628448486328 × 217)
    floor (0.349628448486328 × 131072)
    floor (45826.5)     		ty = 45826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64771 / 45826 ti = "17/64771/45826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64771/45826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64771 ÷ 217
    64771 ÷ 131072     		x = 0.494163513183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45826 ÷ 217
    45826 ÷ 131072     		y = 0.349624633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494163513183594 × 2 - 1) × π
    -0.0116729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03667173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349624633789062 × 2 - 1) × π
    0.300750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.944836291511307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03667173} λ = -0.03667173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944836291511307))-π/2
    2×atan(2.57239222167285)-π/2
    2×1.20003158890961-π/2
    2.40006317781923-1.57079632675     		φ = 0.82926685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03667173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.101135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82926685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.513491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64771 KachelY 45826 -0.03667173 0.82926685 -2.101135 47.513491
    Oben rechts KachelX + 1 64772 KachelY 45826 -0.03662379 0.82926685 -2.098389 47.513491
    Unten links KachelX 64771 KachelY + 1 45827 -0.03667173 0.82923447 -2.101135 47.511635
    Unten rechts KachelX + 1 64772 KachelY + 1 45827 -0.03662379 0.82923447 -2.098389 47.511635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82926685-0.82923447) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dl = 206.292980000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82926685-0.82923447) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dr = 206.292980000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03667173--0.03662379) × cos(0.82926685) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.675416593031666 × 6371000     		do = 206.28961273496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03667173--0.03662379) × cos(0.82923447) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.67544047086782 × 6371000     		du = 206.296905640737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82926685)-sin(0.82923447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675416593031666-0.67544047086782)×R²
    abs(-0.03662379--0.03667173)×2.38778361535408e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38778361535408e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38778361535408e-05×40589641000000     		ar = 42556.8511956786m²