Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64769 / 48890
↖ ↑ ↗
← N 41.520917°
W  2.106628°		 ← 228.63 m → N 41.520917°
W  2.103882°		 →
↑
228.66 m
↓
↑
228.66 m
↓
N 41.518861°
W  2.106628°		 ← 228.64 m →
52 278 m²		 N 41.518861°
W  2.103882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494152069091797 y=0.373004913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494152069091797 × 217)
    floor (0.494152069091797 × 131072)
    floor (64769.5)     		tx = 64769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373004913330078 × 217)
    floor (0.373004913330078 × 131072)
    floor (48890.5)     		ty = 48890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64769 / 48890 ti = "17/64769/48890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64769/48890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64769 ÷ 217
    64769 ÷ 131072     		x = 0.494148254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48890 ÷ 217
    48890 ÷ 131072     		y = 0.373001098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494148254394531 × 2 - 1) × π
    -0.0117034912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03676760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373001098632812 × 2 - 1) × π
    0.253997802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.797957631075455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03676760} λ = -0.03676760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797957631075455))-π/2
    2×atan(2.2210001913684)-π/2
    2×1.14773651753315-π/2
    2.29547303506629-1.57079632675     		φ = 0.72467671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03676760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.106628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72467671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.520917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64769 KachelY 48890 -0.03676760 0.72467671 -2.106628 41.520917
    Oben rechts KachelX + 1 64770 KachelY 48890 -0.03671967 0.72467671 -2.103882 41.520917
    Unten links KachelX 64769 KachelY + 1 48891 -0.03676760 0.72464082 -2.106628 41.518861
    Unten rechts KachelX + 1 64770 KachelY + 1 48891 -0.03671967 0.72464082 -2.103882 41.518861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72467671-0.72464082) × R
    3.58900000000384e-05 × 6371000     		dl = 228.655190000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72467671-0.72464082) × R
    3.58900000000384e-05 × 6371000     		dr = 228.655190000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03676760--0.03671967) × cos(0.72467671) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.748713767904448 × 6371000     		do = 228.628756056226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03676760--0.03671967) × cos(0.72464082) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.748737558667283 × 6371000     		du = 228.63602085186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72467671)-sin(0.72464082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748713767904448-0.748737558667283)×R²
    abs(-0.03671967--0.03676760)×2.37907628348744e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.37907628348744e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.37907628348744e-05×40589641000000     		ar = 52277.9822277845m²