Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64768 / 45822
↖ ↑ ↗
← N 47.520910°
W  2.109375°		 ← 206.26 m → N 47.520910°
W  2.106628°		 →
↑
206.23 m
↓
↑
206.23 m
↓
N 47.519056°
W  2.109375°		 ← 206.27 m →
42 538 m²		 N 47.519056°
W  2.106628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494144439697266 y=0.349597930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494144439697266 × 217)
    floor (0.494144439697266 × 131072)
    floor (64768.5)     		tx = 64768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349597930908203 × 217)
    floor (0.349597930908203 × 131072)
    floor (45822.5)     		ty = 45822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64768 / 45822 ti = "17/64768/45822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64768/45822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64768 ÷ 217
    64768 ÷ 131072     		x = 0.494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45822 ÷ 217
    45822 ÷ 131072     		y = 0.349594116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349594116210938 × 2 - 1) × π
    0.300811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.945028039109787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03681554} λ = -0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.945028039109787))-π/2
    2×atan(2.57288551899648)-π/2
    2×1.20009633908621-π/2
    2.40019267817241-1.57079632675     		φ = 0.82939635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82939635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.520910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64768 KachelY 45822 -0.03681554 0.82939635 -2.109375 47.520910
    Oben rechts KachelX + 1 64769 KachelY 45822 -0.03676760 0.82939635 -2.106628 47.520910
    Unten links KachelX 64768 KachelY + 1 45823 -0.03681554 0.82936398 -2.109375 47.519056
    Unten rechts KachelX + 1 64769 KachelY + 1 45823 -0.03676760 0.82936398 -2.106628 47.519056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82939635-0.82936398) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dl = 206.229270000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82939635-0.82936398) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dr = 206.229270000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03681554--0.03676760) × cos(0.82939635) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.675321089356278 × 6371000     		do = 206.260443454261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03681554--0.03676760) × cos(0.82936398) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.675344962649425 × 6371000     		du = 206.267734972487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82939635)-sin(0.82936398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675321089356278-0.675344962649425)×R²
    abs(-0.03676760--0.03681554)×2.38732931470143e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38732931470143e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38732931470143e-05×40589641000000     		ar = 42537.692549356m²