Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64767 / 42753
↖ ↑ ↗
← N 52.907245°
W  2.112122°		 ← 184.20 m → N 52.907245°
W  2.109375°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
N 52.905589°
W  2.112122°		 ← 184.21 m →
33 928 m²		 N 52.905589°
W  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494136810302734 y=0.326183319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494136810302734 × 217)
    floor (0.494136810302734 × 131072)
    floor (64767.5)     		tx = 64767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326183319091797 × 217)
    floor (0.326183319091797 × 131072)
    floor (42753.5)     		ty = 42753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64767 / 42753 ti = "17/64767/42753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64767/42753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64767 ÷ 217
    64767 ÷ 131072     		x = 0.494132995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42753 ÷ 217
    42753 ÷ 131072     		y = 0.326179504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494132995605469 × 2 - 1) × π
    -0.0117340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03686348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326179504394531 × 2 - 1) × π
    0.347640991210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.09214638404374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03686348} λ = -0.03686348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09214638404374))-π/2
    2×atan(2.98066486306599)-π/2
    2×1.24710098029603-π/2
    2.49420196059206-1.57079632675     		φ = 0.92340563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03686348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.112122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92340563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.907245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64767 KachelY 42753 -0.03686348 0.92340563 -2.112122 52.907245
    Oben rechts KachelX + 1 64768 KachelY 42753 -0.03681554 0.92340563 -2.109375 52.907245
    Unten links KachelX 64767 KachelY + 1 42754 -0.03686348 0.92337672 -2.112122 52.905589
    Unten rechts KachelX + 1 64768 KachelY + 1 42754 -0.03681554 0.92337672 -2.109375 52.905589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92340563-0.92337672) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dl = 184.185609999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92340563-0.92337672) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dr = 184.185609999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03686348--0.03681554) × cos(0.92340563) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603107123892549 × 6371000     		do = 184.204439614139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03686348--0.03681554) × cos(0.92337672) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603130183996937 × 6371000     		du = 184.211482763586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92340563)-sin(0.92337672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603107123892549-0.603130183996937)×R²
    abs(-0.03681554--0.03686348)×2.30601043882395e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30601043882395e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30601043882395e-05×40589641000000     		ar = 33928.4557006991m²