Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64766 / 45825
↖ ↑ ↗
← N 47.515346°
W  2.114868°		 ← 206.24 m → N 47.515346°
W  2.112122°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
N 47.513491°
W  2.114868°		 ← 206.25 m →
42 546 m²		 N 47.513491°
W  2.112122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494129180908203 y=0.349620819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494129180908203 × 217)
    floor (0.494129180908203 × 131072)
    floor (64766.5)     		tx = 64766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349620819091797 × 217)
    floor (0.349620819091797 × 131072)
    floor (45825.5)     		ty = 45825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64766 / 45825 ti = "17/64766/45825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64766/45825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64766 ÷ 217
    64766 ÷ 131072     		x = 0.494125366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45825 ÷ 217
    45825 ÷ 131072     		y = 0.349617004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494125366210938 × 2 - 1) × π
    -0.011749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03691141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349617004394531 × 2 - 1) × π
    0.300765991210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.944884228410927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03691141} λ = -0.03691141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944884228410927))-π/2
    2×atan(2.57251553713622)-π/2
    2×1.20004777731217-π/2
    2.40009555462434-1.57079632675     		φ = 0.82929923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03691141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.114868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82929923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.515346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64766 KachelY 45825 -0.03691141 0.82929923 -2.114868 47.515346
    Oben rechts KachelX + 1 64767 KachelY 45825 -0.03686348 0.82929923 -2.112122 47.515346
    Unten links KachelX 64766 KachelY + 1 45826 -0.03691141 0.82926685 -2.114868 47.513491
    Unten rechts KachelX + 1 64767 KachelY + 1 45826 -0.03686348 0.82926685 -2.112122 47.513491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82929923-0.82926685) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dl = 206.292980000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82929923-0.82926685) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dr = 206.292980000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03691141--0.03686348) × cos(0.82929923) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.675392714487363 × 6371000     		do = 206.239290343078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03691141--0.03686348) × cos(0.82926685) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.675416593031666 × 6371000     		du = 206.24658194384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82929923)-sin(0.82926685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675392714487363-0.675416593031666)×R²
    abs(-0.03686348--0.03691141)×2.38785443036349e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38785443036349e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38785443036349e-05×40589641000000     		ar = 42546.4699047771m²