Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64766 / 44986
↖ ↑ ↗
← N 49.048670°
W  2.114868°		 ← 200.14 m → N 49.048670°
W  2.112122°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
N 49.046870°
W  2.114868°		 ← 200.15 m →
40 064 m²		 N 49.046870°
W  2.112122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494129180908203 y=0.343219757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494129180908203 × 217)
    floor (0.494129180908203 × 131072)
    floor (64766.5)     		tx = 64766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343219757080078 × 217)
    floor (0.343219757080078 × 131072)
    floor (44986.5)     		ty = 44986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64766 / 44986 ti = "17/64766/44986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64766/44986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64766 ÷ 217
    64766 ÷ 131072     		x = 0.494125366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44986 ÷ 217
    44986 ÷ 131072     		y = 0.343215942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494125366210938 × 2 - 1) × π
    -0.011749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03691141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343215942382812 × 2 - 1) × π
    0.313568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.985103287192154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03691141} λ = -0.03691141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985103287192154))-π/2
    2×atan(2.67808848237597)-π/2
    2×1.21342855660592-π/2
    2.42685711321184-1.57079632675     		φ = 0.85606079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03691141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.114868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85606079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.048670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64766 KachelY 44986 -0.03691141 0.85606079 -2.114868 49.048670
    Oben rechts KachelX + 1 64767 KachelY 44986 -0.03686348 0.85606079 -2.112122 49.048670
    Unten links KachelX 64766 KachelY + 1 44987 -0.03691141 0.85602937 -2.114868 49.046870
    Unten rechts KachelX + 1 64767 KachelY + 1 44987 -0.03686348 0.85602937 -2.112122 49.046870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85606079-0.85602937) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85606079-0.85602937) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03691141--0.03686348) × cos(0.85606079) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.655417699393546 × 6371000     		do = 200.13967918475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03691141--0.03686348) × cos(0.85602937) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.655441429546642 × 6371000     		du = 200.146925472471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85606079)-sin(0.85602937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655417699393546-0.655441429546642)×R²
    abs(-0.03686348--0.03691141)×2.37301530953138e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37301530953138e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37301530953138e-05×40589641000000     		ar = 40064.0498076619m²