Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64764 / 45828
↖ ↑ ↗
← N 47.509780°
W  2.120362°		 ← 206.30 m → N 47.509780°
W  2.117615°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
N 47.507925°
W  2.120362°		 ← 206.31 m →
42 560 m²		 N 47.507925°
W  2.117615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494113922119141 y=0.349643707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494113922119141 × 217)
    floor (0.494113922119141 × 131072)
    floor (64764.5)     		tx = 64764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349643707275391 × 217)
    floor (0.349643707275391 × 131072)
    floor (45828.5)     		ty = 45828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64764 / 45828 ti = "17/64764/45828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64764/45828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64764 ÷ 217
    64764 ÷ 131072     		x = 0.494110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45828 ÷ 217
    45828 ÷ 131072     		y = 0.349639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.01177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03700729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349639892578125 × 2 - 1) × π
    0.30072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.944740417712067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03700729} λ = -0.03700729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944740417712067))-π/2
    2×atan(2.57214560847948)-π/2
    2×1.19999921038767-π/2
    2.39999842077534-1.57079632675     		φ = 0.82920209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03700729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.120362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82920209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.509780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64764 KachelY 45828 -0.03700729 0.82920209 -2.120362 47.509780
    Oben rechts KachelX + 1 64765 KachelY 45828 -0.03695935 0.82920209 -2.117615 47.509780
    Unten links KachelX 64764 KachelY + 1 45829 -0.03700729 0.82916971 -2.120362 47.507925
    Unten rechts KachelX + 1 64765 KachelY + 1 45829 -0.03695935 0.82916971 -2.117615 47.507925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82920209-0.82916971) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dl = 206.292980000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82920209-0.82916971) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dr = 206.292980000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03700729--0.03695935) × cos(0.82920209) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.675464347995798 × 6371000     		do = 206.304198330218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03700729--0.03695935) × cos(0.82916971) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.675488224415576 × 6371000     		du = 206.311490803398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82920209)-sin(0.82916971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675464347995798-0.675488224415576)×R²
    abs(-0.03695935--0.03700729)×2.38764197778574e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38764197778574e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38764197778574e-05×40589641000000     		ar = 42559.8600568928m²