Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64761 / 48892
↖ ↑ ↗
← N 41.516804°
W  2.128601°		 ← 228.69 m → N 41.516804°
W  2.125854°		 →
↑
228.66 m
↓
↑
228.66 m
↓
N 41.514747°
W  2.128601°		 ← 228.70 m →
52 292 m²		 N 41.514747°
W  2.125854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494091033935547 y=0.373020172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494091033935547 × 217)
    floor (0.494091033935547 × 131072)
    floor (64761.5)     		tx = 64761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373020172119141 × 217)
    floor (0.373020172119141 × 131072)
    floor (48892.5)     		ty = 48892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64761 / 48892 ti = "17/64761/48892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64761/48892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64761 ÷ 217
    64761 ÷ 131072     		x = 0.494087219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48892 ÷ 217
    48892 ÷ 131072     		y = 0.373016357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494087219238281 × 2 - 1) × π
    -0.0118255615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03715110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373016357421875 × 2 - 1) × π
    0.25396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.797861757276215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03715110} λ = -0.03715110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797861757276215))-π/2
    2×atan(2.22078726584909)-π/2
    2×1.14770062537585-π/2
    2.2954012507517-1.57079632675     		φ = 0.72460492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03715110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.128601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72460492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.516804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64761 KachelY 48892 -0.03715110 0.72460492 -2.128601 41.516804
    Oben rechts KachelX + 1 64762 KachelY 48892 -0.03710316 0.72460492 -2.125854 41.516804
    Unten links KachelX 64761 KachelY + 1 48893 -0.03715110 0.72456903 -2.128601 41.514747
    Unten rechts KachelX + 1 64762 KachelY + 1 48893 -0.03710316 0.72456903 -2.125854 41.514747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72460492-0.72456903) × R
    3.58900000000384e-05 × 6371000     		dl = 228.655190000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72460492-0.72456903) × R
    3.58900000000384e-05 × 6371000     		dr = 228.655190000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03715110--0.03710316) × cos(0.72460492) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.748761355094071 × 6371000     		do = 228.690990962992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03715110--0.03710316) × cos(0.72456903) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.748785143927721 × 6371000     		du = 228.698256685113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72460492)-sin(0.72456903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748761355094071-0.748785143927721)×R²
    abs(-0.03710316--0.03715110)×2.37888336496184e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37888336496184e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37888336496184e-05×40589641000000     		ar = 52292.2126681539m²