Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64761 / 44916
↖ ↑ ↗
← N 49.174522°
W  2.128601°		 ← 199.67 m → N 49.174522°
W  2.125854°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
N 49.172726°
W  2.128601°		 ← 199.68 m →
39 869 m²		 N 49.172726°
W  2.125854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494091033935547 y=0.342685699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494091033935547 × 217)
    floor (0.494091033935547 × 131072)
    floor (64761.5)     		tx = 64761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342685699462891 × 217)
    floor (0.342685699462891 × 131072)
    floor (44916.5)     		ty = 44916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64761 / 44916 ti = "17/64761/44916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64761/44916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64761 ÷ 217
    64761 ÷ 131072     		x = 0.494087219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44916 ÷ 217
    44916 ÷ 131072     		y = 0.342681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494087219238281 × 2 - 1) × π
    -0.0118255615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03715110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342681884765625 × 2 - 1) × π
    0.31463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.988458870165558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03715110} λ = -0.03715110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988458870165558))-π/2
    2×atan(2.68709012492144)-π/2
    2×1.21452681767976-π/2
    2.42905363535951-1.57079632675     		φ = 0.85825731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03715110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.128601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85825731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.174522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64761 KachelY 44916 -0.03715110 0.85825731 -2.128601 49.174522
    Oben rechts KachelX + 1 64762 KachelY 44916 -0.03710316 0.85825731 -2.125854 49.174522
    Unten links KachelX 64761 KachelY + 1 44917 -0.03715110 0.85822597 -2.128601 49.172726
    Unten rechts KachelX + 1 64762 KachelY + 1 44917 -0.03710316 0.85822597 -2.125854 49.172726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85825731-0.85822597) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dl = 199.667140000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85825731-0.85822597) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dr = 199.667140000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03715110--0.03710316) × cos(0.85825731) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653757161435756 × 6371000     		do = 199.6742648118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03715110--0.03710316) × cos(0.85822597) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653780876231105 × 6371000     		du = 199.681507920718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85825731)-sin(0.85822597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653757161435756-0.653780876231105)×R²
    abs(-0.03710316--0.03715110)×2.37147953489059e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37147953489059e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37147953489059e-05×40589641000000     		ar = 39869.1124954488m²