Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64758 / 44956
↖ ↑ ↗
← N 49.102646°
W  2.136841°		 ← 199.96 m → N 49.102646°
W  2.134094°		 →
↑
199.99 m
↓
↑
199.99 m
↓
N 49.100847°
W  2.136841°		 ← 199.97 m →
39 991 m²		 N 49.100847°
W  2.134094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494068145751953 y=0.342990875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494068145751953 × 217)
    floor (0.494068145751953 × 131072)
    floor (64758.5)     		tx = 64758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342990875244141 × 217)
    floor (0.342990875244141 × 131072)
    floor (44956.5)     		ty = 44956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64758 / 44956 ti = "17/64758/44956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64758/44956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64758 ÷ 217
    64758 ÷ 131072     		x = 0.494064331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44956 ÷ 217
    44956 ÷ 131072     		y = 0.342987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494064331054688 × 2 - 1) × π
    -0.011871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03729491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342987060546875 × 2 - 1) × π
    0.31402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.986541394180756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03729491} λ = -0.03729491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986541394180756))-π/2
    2×atan(2.68194263081323)-π/2
    2×1.21389958107621-π/2
    2.42779916215242-1.57079632675     		φ = 0.85700284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03729491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.136841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85700284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.102646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64758 KachelY 44956 -0.03729491 0.85700284 -2.136841 49.102646
    Oben rechts KachelX + 1 64759 KachelY 44956 -0.03724697 0.85700284 -2.134094 49.102646
    Unten links KachelX 64758 KachelY + 1 44957 -0.03729491 0.85697145 -2.136841 49.100847
    Unten rechts KachelX + 1 64759 KachelY + 1 44957 -0.03724697 0.85697145 -2.134094 49.100847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85700284-0.85697145) × R
    3.13900000000755e-05 × 6371000     		dl = 199.985690000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85700284-0.85697145) × R
    3.13900000000755e-05 × 6371000     		dr = 199.985690000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03729491--0.03724697) × cos(0.85700284) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.654705909768968 × 6371000     		do = 199.964036973574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03729491--0.03724697) × cos(0.85697145) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.654729636635834 × 6371000     		du = 199.971283769444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85700284)-sin(0.85697145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654705909768968-0.654729636635834)×R²
    abs(-0.03724697--0.03729491)×2.37268668664692e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37268668664692e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37268668664692e-05×40589641000000     		ar = 39990.6705404006m²