Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64752 / 47920
↖ ↑ ↗
← N 43.484812°
W  2.153320°		 ← 221.60 m → N 43.484812°
W  2.150574°		 →
↑
221.65 m
↓
↑
221.65 m
↓
N 43.482819°
W  2.153320°		 ← 221.61 m →
49 119 m²		 N 43.482819°
W  2.150574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494022369384766 y=0.365604400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494022369384766 × 217)
    floor (0.494022369384766 × 131072)
    floor (64752.5)     		tx = 64752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365604400634766 × 217)
    floor (0.365604400634766 × 131072)
    floor (47920.5)     		ty = 47920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64752 / 47920 ti = "17/64752/47920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64752/47920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64752 ÷ 217
    64752 ÷ 131072     		x = 0.4940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47920 ÷ 217
    47920 ÷ 131072     		y = 0.3656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4940185546875 × 2 - 1) × π
    -0.011962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03758253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3656005859375 × 2 - 1) × π
    0.268798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.844456423706909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03758253} λ = -0.03758253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.844456423706909))-π/2
    2×atan(2.32671272488692)-π/2
    2×1.16487473651907-π/2
    2.32974947303813-1.57079632675     		φ = 0.75895315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03758253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.153320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75895315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.484812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64752 KachelY 47920 -0.03758253 0.75895315 -2.153320 43.484812
    Oben rechts KachelX + 1 64753 KachelY 47920 -0.03753459 0.75895315 -2.150574 43.484812
    Unten links KachelX 64752 KachelY + 1 47921 -0.03758253 0.75891836 -2.153320 43.482819
    Unten rechts KachelX + 1 64753 KachelY + 1 47921 -0.03753459 0.75891836 -2.150574 43.482819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75895315-0.75891836) × R
    3.47899999999512e-05 × 6371000     		dl = 221.647089999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75895315-0.75891836) × R
    3.47899999999512e-05 × 6371000     		dr = 221.647089999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03758253--0.03753459) × cos(0.75895315) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.725556810851977 × 6371000     		do = 221.60372586652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03758253--0.03753459) × cos(0.75891836) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.72558075157837 × 6371000     		du = 221.611037980595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75895315)-sin(0.75891836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725556810851977-0.72558075157837)×R²
    abs(-0.03753459--0.03758253)×2.39407263923352e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39407263923352e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39407263923352e-05×40589641000000     		ar = 49118.6313308605m²