Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64752 / 45168
↖ ↑ ↗
← N 48.719961°
W  2.153320°		 ← 201.50 m → N 48.719961°
W  2.150574°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
N 48.718149°
W  2.153320°		 ← 201.51 m →
40 593 m²		 N 48.718149°
W  2.150574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494022369384766 y=0.344608306884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494022369384766 × 217)
    floor (0.494022369384766 × 131072)
    floor (64752.5)     		tx = 64752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344608306884766 × 217)
    floor (0.344608306884766 × 131072)
    floor (45168.5)     		ty = 45168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64752 / 45168 ti = "17/64752/45168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64752/45168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64752 ÷ 217
    64752 ÷ 131072     		x = 0.4940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45168 ÷ 217
    45168 ÷ 131072     		y = 0.3446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4940185546875 × 2 - 1) × π
    -0.011962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03758253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3446044921875 × 2 - 1) × π
    0.310791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.976378771461304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03758253} λ = -0.03758253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976378771461304))-π/2
    2×atan(2.65482508577947)-π/2
    2×1.21056003077781-π/2
    2.42112006155562-1.57079632675     		φ = 0.85032373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03758253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.153320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85032373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.719961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64752 KachelY 45168 -0.03758253 0.85032373 -2.153320 48.719961
    Oben rechts KachelX + 1 64753 KachelY 45168 -0.03753459 0.85032373 -2.150574 48.719961
    Unten links KachelX 64752 KachelY + 1 45169 -0.03758253 0.85029211 -2.153320 48.718149
    Unten rechts KachelX + 1 64753 KachelY + 1 45169 -0.03753459 0.85029211 -2.150574 48.718149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85032373-0.85029211) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85032373-0.85029211) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03758253--0.03753459) × cos(0.85032373) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.65973989930019 × 6371000     		do = 201.5015469513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03758253--0.03753459) × cos(0.85029211) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.659763661211354 × 6371000     		du = 201.508804450601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85032373)-sin(0.85029211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65973989930019-0.659763661211354)×R²
    abs(-0.03753459--0.03758253)×2.3761911163267e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.3761911163267e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.3761911163267e-05×40589641000000     		ar = 40593.4231836106m²