Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64738 / 44581
↖ ↑ ↗
← N 49.772396°
W  2.191773°		 ← 197.25 m → N 49.772396°
W  2.189026°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
N 49.770622°
W  2.191773°		 ← 197.26 m →
38 908 m²		 N 49.770622°
W  2.189026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493915557861328 y=0.340129852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493915557861328 × 217)
    floor (0.493915557861328 × 131072)
    floor (64738.5)     		tx = 64738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340129852294922 × 217)
    floor (0.340129852294922 × 131072)
    floor (44581.5)     		ty = 44581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64738 / 44581 ti = "17/64738/44581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64738/44581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64738 ÷ 217
    64738 ÷ 131072     		x = 0.493911743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44581 ÷ 217
    44581 ÷ 131072     		y = 0.340126037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493911743164062 × 2 - 1) × π
    -0.012176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03825365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340126037597656 × 2 - 1) × π
    0.319747924804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.00451773153828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03825365} λ = -0.03825365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00451773153828))-π/2
    2×atan(2.73059007775424)-π/2
    2×1.21974425508758-π/2
    2.43948851017515-1.57079632675     		φ = 0.86869218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03825365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.191773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86869218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.772396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64738 KachelY 44581 -0.03825365 0.86869218 -2.191773 49.772396
    Oben rechts KachelX + 1 64739 KachelY 44581 -0.03820571 0.86869218 -2.189026 49.772396
    Unten links KachelX 64738 KachelY + 1 44582 -0.03825365 0.86866122 -2.191773 49.770622
    Unten rechts KachelX + 1 64739 KachelY + 1 44582 -0.03820571 0.86866122 -2.189026 49.770622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86869218-0.86866122) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86869218-0.86866122) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03825365--0.03820571) × cos(0.86869218) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.645825600172092 × 6371000     		do = 197.251761843519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03825365--0.03820571) × cos(0.86866122) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.645849237357134 × 6371000     		du = 197.258981248252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86869218)-sin(0.86866122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645825600172092-0.645849237357134)×R²
    abs(-0.03820571--0.03825365)×2.3637185042058e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.3637185042058e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.3637185042058e-05×40589641000000     		ar = 38907.8645798851m²