Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64737 / 45857
↖ ↑ ↗
← N 47.455951°
W  2.194519°		 ← 206.47 m → N 47.455951°
W  2.191773°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
N 47.454094°
W  2.194519°		 ← 206.48 m →
42 634 m²		 N 47.454094°
W  2.191773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493907928466797 y=0.349864959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493907928466797 × 217)
    floor (0.493907928466797 × 131072)
    floor (64737.5)     		tx = 64737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349864959716797 × 217)
    floor (0.349864959716797 × 131072)
    floor (45857.5)     		ty = 45857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64737 / 45857 ti = "17/64737/45857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64737/45857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64737 ÷ 217
    64737 ÷ 131072     		x = 0.493904113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45857 ÷ 217
    45857 ÷ 131072     		y = 0.349861145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493904113769531 × 2 - 1) × π
    -0.0121917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03830158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349861145019531 × 2 - 1) × π
    0.300277709960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.943350247623085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03830158} λ = -0.03830158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943350247623085))-π/2
    2×atan(2.56857237286816)-π/2
    2×1.19952946456501-π/2
    2.39905892913003-1.57079632675     		φ = 0.82826260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03830158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.194519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82826260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.455951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64737 KachelY 45857 -0.03830158 0.82826260 -2.194519 47.455951
    Oben rechts KachelX + 1 64738 KachelY 45857 -0.03825365 0.82826260 -2.191773 47.455951
    Unten links KachelX 64737 KachelY + 1 45858 -0.03830158 0.82823019 -2.194519 47.454094
    Unten rechts KachelX + 1 64738 KachelY + 1 45858 -0.03825365 0.82823019 -2.191773 47.454094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82826260-0.82823019) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dl = 206.48410999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82826260-0.82823019) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dr = 206.48410999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03830158--0.03825365) × cos(0.82826260) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.676156822814615 × 6371000     		do = 206.472620013028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03830158--0.03825365) × cos(0.82823019) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.676180700777481 × 6371000     		du = 206.479911436241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82826260)-sin(0.82823019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676156822814615-0.676180700777481)×R²
    abs(-0.03825365--0.03830158)×2.38779628662922e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38779628662922e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38779628662922e-05×40589641000000     		ar = 42634.0679679213m²