Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64732 / 48812
↖ ↑ ↗
← N 41.681118°
W  2.208252°		 ← 228.11 m → N 41.681118°
W  2.205505°		 →
↑
228.15 m
↓
↑
228.15 m
↓
N 41.679066°
W  2.208252°		 ← 228.12 m →
52 043 m²		 N 41.679066°
W  2.205505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493869781494141 y=0.372409820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493869781494141 × 217)
    floor (0.493869781494141 × 131072)
    floor (64732.5)     		tx = 64732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372409820556641 × 217)
    floor (0.372409820556641 × 131072)
    floor (48812.5)     		ty = 48812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64732 / 48812 ti = "17/64732/48812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64732/48812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64732 ÷ 217
    64732 ÷ 131072     		x = 0.493865966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48812 ÷ 217
    48812 ÷ 131072     		y = 0.372406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.01226806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03854127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372406005859375 × 2 - 1) × π
    0.25518798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.801696709245819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03854127} λ = -0.03854127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801696709245819))-π/2
    2×atan(2.22932022964373)-π/2
    2×1.14913453208067-π/2
    2.29826906416134-1.57079632675     		φ = 0.72747274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03854127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.208252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72747274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.681118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64732 KachelY 48812 -0.03854127 0.72747274 -2.208252 41.681118
    Oben rechts KachelX + 1 64733 KachelY 48812 -0.03849333 0.72747274 -2.205505 41.681118
    Unten links KachelX 64732 KachelY + 1 48813 -0.03854127 0.72743693 -2.208252 41.679066
    Unten rechts KachelX + 1 64733 KachelY + 1 48813 -0.03849333 0.72743693 -2.205505 41.679066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72747274-0.72743693) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dl = 228.145509999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72747274-0.72743693) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dr = 228.145509999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03854127--0.03849333) × cos(0.72747274) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.746857373775311 × 6371000     		do = 228.109466059797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03854127--0.03849333) × cos(0.72743693) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.746881186382713 × 6371000     		du = 228.116739043033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72747274)-sin(0.72743693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746857373775311-0.746881186382713)×R²
    abs(-0.03849333--0.03854127)×2.38126074012524e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38126074012524e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38126074012524e-05×40589641000000     		ar = 52042.9801247526m²