Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64732 / 45074
↖ ↑ ↗
← N 48.890004°
W  2.208252°		 ← 200.82 m → N 48.890004°
W  2.205505°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
N 48.888198°
W  2.208252°		 ← 200.83 m →
40 328 m²		 N 48.888198°
W  2.205505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493869781494141 y=0.343891143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493869781494141 × 217)
    floor (0.493869781494141 × 131072)
    floor (64732.5)     		tx = 64732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343891143798828 × 217)
    floor (0.343891143798828 × 131072)
    floor (45074.5)     		ty = 45074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64732 / 45074 ti = "17/64732/45074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64732/45074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64732 ÷ 217
    64732 ÷ 131072     		x = 0.493865966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45074 ÷ 217
    45074 ÷ 131072     		y = 0.343887329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.01226806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03854127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343887329101562 × 2 - 1) × π
    0.312225341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.980884840025589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03854127} λ = -0.03854127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980884840025589))-π/2
    2×atan(2.6668149028236)-π/2
    2×1.21204393132428-π/2
    2.42408786264855-1.57079632675     		φ = 0.85329154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03854127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.208252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85329154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.890004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64732 KachelY 45074 -0.03854127 0.85329154 -2.208252 48.890004
    Oben rechts KachelX + 1 64733 KachelY 45074 -0.03849333 0.85329154 -2.205505 48.890004
    Unten links KachelX 64732 KachelY + 1 45075 -0.03854127 0.85326002 -2.208252 48.888198
    Unten rechts KachelX + 1 64733 KachelY + 1 45075 -0.03849333 0.85326002 -2.205505 48.888198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85329154-0.85326002) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dl = 200.813919999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85329154-0.85326002) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dr = 200.813919999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03854127--0.03849333) × cos(0.85329154) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.657506705642309 × 6371000     		do = 200.819472125778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03854127--0.03849333) × cos(0.85326002) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.657530454018469 × 6371000     		du = 200.826725491141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85329154)-sin(0.85326002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657506705642309-0.657530454018469)×R²
    abs(-0.03849333--0.03854127)×2.37483761597046e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37483761597046e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37483761597046e-05×40589641000000     		ar = 40328.0737014317m²