Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64710 / 45155
↖ ↑ ↗
← N 48.743512°
W  2.268677°		 ← 201.41 m → N 48.743512°
W  2.265930°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
N 48.741701°
W  2.268677°		 ← 201.41 m →
40 574 m²		 N 48.741701°
W  2.265930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493701934814453 y=0.344509124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493701934814453 × 217)
    floor (0.493701934814453 × 131072)
    floor (64710.5)     		tx = 64710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344509124755859 × 217)
    floor (0.344509124755859 × 131072)
    floor (45155.5)     		ty = 45155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64710 / 45155 ti = "17/64710/45155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64710/45155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64710 ÷ 217
    64710 ÷ 131072     		x = 0.493698120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45155 ÷ 217
    45155 ÷ 131072     		y = 0.344505310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493698120117188 × 2 - 1) × π
    -0.012603759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03959588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344505310058594 × 2 - 1) × π
    0.310989379882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.977001951156364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03959588} λ = -0.03959588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977001951156364))-π/2
    2×atan(2.65648003447852)-π/2
    2×1.21076555089762-π/2
    2.42153110179525-1.57079632675     		φ = 0.85073478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03959588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.268677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85073478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.743512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64710 KachelY 45155 -0.03959588 0.85073478 -2.268677 48.743512
    Oben rechts KachelX + 1 64711 KachelY 45155 -0.03954794 0.85073478 -2.265930 48.743512
    Unten links KachelX 64710 KachelY + 1 45156 -0.03959588 0.85070316 -2.268677 48.741701
    Unten rechts KachelX + 1 64711 KachelY + 1 45156 -0.03954794 0.85070316 -2.265930 48.741701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85073478-0.85070316) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85073478-0.85070316) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03959588--0.03954794) × cos(0.85073478) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.65943094195558 × 6371000     		do = 201.407183425694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03959588--0.03954794) × cos(0.85070316) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.659454712439794 × 6371000     		du = 201.414443543425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85073478)-sin(0.85070316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65943094195558-0.659454712439794)×R²
    abs(-0.03954794--0.03959588)×2.37704842139808e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37704842139808e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37704842139808e-05×40589641000000     		ar = 40574.4138189725m²