Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64708 / 45764
↖ ↑ ↗
← N 47.628380°
W  2.274170°		 ← 205.79 m → N 47.628380°
W  2.271424°		 →
↑
205.85 m
↓
↑
205.85 m
↓
N 47.626529°
W  2.274170°		 ← 205.80 m →
42 363 m²		 N 47.626529°
W  2.271424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493686676025391 y=0.349155426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493686676025391 × 217)
    floor (0.493686676025391 × 131072)
    floor (64708.5)     		tx = 64708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349155426025391 × 217)
    floor (0.349155426025391 × 131072)
    floor (45764.5)     		ty = 45764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64708 / 45764 ti = "17/64708/45764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64708/45764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64708 ÷ 217
    64708 ÷ 131072     		x = 0.493682861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45764 ÷ 217
    45764 ÷ 131072     		y = 0.349151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493682861328125 × 2 - 1) × π
    -0.01263427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03969175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349151611328125 × 2 - 1) × π
    0.30169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.94780837928775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03969175} λ = -0.03969175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94780837928775))-π/2
    2×atan(2.58004896977863)-π/2
    2×1.20103418782335-π/2
    2.4020683756467-1.57079632675     		φ = 0.83127205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03969175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.274170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83127205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.628380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64708 KachelY 45764 -0.03969175 0.83127205 -2.274170 47.628380
    Oben rechts KachelX + 1 64709 KachelY 45764 -0.03964382 0.83127205 -2.271424 47.628380
    Unten links KachelX 64708 KachelY + 1 45765 -0.03969175 0.83123974 -2.274170 47.626529
    Unten rechts KachelX + 1 64709 KachelY + 1 45765 -0.03964382 0.83123974 -2.271424 47.626529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83127205-0.83123974) × R
    3.23100000000354e-05 × 6371000     		dl = 205.847010000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83127205-0.83123974) × R
    3.23100000000354e-05 × 6371000     		dr = 205.847010000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03969175--0.03964382) × cos(0.83127205) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.673936528711856 × 6371000     		do = 205.794626498583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03969175--0.03964382) × cos(0.83123974) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.673960398640732 × 6371000     		du = 205.80191546852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83127205)-sin(0.83123974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673936528711856-0.673960398640732)×R²
    abs(-0.03964382--0.03969175)×2.38699288758193e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.38699288758193e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.38699288758193e-05×40589641000000     		ar = 42362.9587489759m²