Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64706 / 47938
↖ ↑ ↗
← N 43.448931°
W  2.279663°		 ← 221.74 m → N 43.448931°
W  2.276917°		 →
↑
221.71 m
↓
↑
221.71 m
↓
N 43.446937°
W  2.279663°		 ← 221.74 m →
49 162 m²		 N 43.446937°
W  2.276917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493671417236328 y=0.365741729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493671417236328 × 217)
    floor (0.493671417236328 × 131072)
    floor (64706.5)     		tx = 64706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365741729736328 × 217)
    floor (0.365741729736328 × 131072)
    floor (47938.5)     		ty = 47938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64706 / 47938 ti = "17/64706/47938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64706/47938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64706 ÷ 217
    64706 ÷ 131072     		x = 0.493667602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47938 ÷ 217
    47938 ÷ 131072     		y = 0.365737915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493667602539062 × 2 - 1) × π
    -0.012664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03978763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365737915039062 × 2 - 1) × π
    0.268524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.843593559513748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03978763} λ = -0.03978763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843593559513748))-π/2
    2×atan(2.32470595369886)-π/2
    2×1.16456161508724-π/2
    2.32912323017447-1.57079632675     		φ = 0.75832690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03978763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.279663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75832690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.448931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64706 KachelY 47938 -0.03978763 0.75832690 -2.279663 43.448931
    Oben rechts KachelX + 1 64707 KachelY 47938 -0.03973969 0.75832690 -2.276917 43.448931
    Unten links KachelX 64706 KachelY + 1 47939 -0.03978763 0.75829210 -2.279663 43.446937
    Unten rechts KachelX + 1 64707 KachelY + 1 47939 -0.03973969 0.75829210 -2.276917 43.446937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75832690-0.75829210) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dl = 221.71080000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75832690-0.75829210) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dr = 221.71080000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03978763--0.03973969) × cos(0.75832690) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.725987630169668 × 6371000     		do = 221.7353091754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03978763--0.03973969) × cos(0.75829210) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726011561960052 × 6371000     		du = 221.742618560188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75832690)-sin(0.75829210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725987630169668-0.726011561960052)×R²
    abs(-0.03973969--0.03978763)×2.39317903842906e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39317903842906e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39317903842906e-05×40589641000000     		ar = 49161.9230751616m²