Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64705 / 45760
↖ ↑ ↗
← N 47.635784°
W  2.282409°		 ← 205.77 m → N 47.635784°
W  2.279663°		 →
↑
205.85 m
↓
↑
205.85 m
↓
N 47.633933°
W  2.282409°		 ← 205.77 m →
42 357 m²		 N 47.633933°
W  2.279663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493663787841797 y=0.349124908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493663787841797 × 217)
    floor (0.493663787841797 × 131072)
    floor (64705.5)     		tx = 64705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349124908447266 × 217)
    floor (0.349124908447266 × 131072)
    floor (45760.5)     		ty = 45760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64705 / 45760 ti = "17/64705/45760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64705/45760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64705 ÷ 217
    64705 ÷ 131072     		x = 0.493659973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45760 ÷ 217
    45760 ÷ 131072     		y = 0.34912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493659973144531 × 2 - 1) × π
    -0.0126800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03983556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34912109375 × 2 - 1) × π
    0.3017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.94800012688623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03983556} λ = -0.03983556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94800012688623))-π/2
    2×atan(2.58054373540609)-π/2
    2×1.20109879610236-π/2
    2.40219759220472-1.57079632675     		φ = 0.83140127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03983556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.282409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83140127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.635784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64705 KachelY 45760 -0.03983556 0.83140127 -2.282409 47.635784
    Oben rechts KachelX + 1 64706 KachelY 45760 -0.03978763 0.83140127 -2.279663 47.635784
    Unten links KachelX 64705 KachelY + 1 45761 -0.03983556 0.83136896 -2.282409 47.633933
    Unten rechts KachelX + 1 64706 KachelY + 1 45761 -0.03978763 0.83136896 -2.279663 47.633933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83140127-0.83136896) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dl = 205.847009999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83140127-0.83136896) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dr = 205.847009999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03983556--0.03978763) × cos(0.83140127) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.673841056738662 × 6371000     		do = 205.76547298307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03983556--0.03978763) × cos(0.83136896) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.673864929481139 × 6371000     		du = 205.772762812174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83140127)-sin(0.83136896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673841056738662-0.673864929481139)×R²
    abs(-0.03978763--0.03983556)×2.38727424775043e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38727424775043e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38727424775043e-05×40589641000000     		ar = 42356.9576732348m²