Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64703 / 45761
↖ ↑ ↗
← N 47.633933°
W  2.287903°		 ← 205.82 m → N 47.633933°
W  2.285156°		 →
↑
205.78 m
↓
↑
205.78 m
↓
N 47.632082°
W  2.287903°		 ← 205.82 m →
42 354 m²		 N 47.632082°
W  2.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493648529052734 y=0.349132537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493648529052734 × 217)
    floor (0.493648529052734 × 131072)
    floor (64703.5)     		tx = 64703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349132537841797 × 217)
    floor (0.349132537841797 × 131072)
    floor (45761.5)     		ty = 45761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64703 / 45761 ti = "17/64703/45761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64703/45761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64703 ÷ 217
    64703 ÷ 131072     		x = 0.493644714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45761 ÷ 217
    45761 ÷ 131072     		y = 0.349128723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493644714355469 × 2 - 1) × π
    -0.0127105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03993144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349128723144531 × 2 - 1) × π
    0.301742553710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.94795218998661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03993144} λ = -0.03993144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94795218998661))-π/2
    2×atan(2.58042003510501)-π/2
    2×1.2010826448907-π/2
    2.4021652897814-1.57079632675     		φ = 0.83136896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03993144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.287903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83136896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.633933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64703 KachelY 45761 -0.03993144 0.83136896 -2.287903 47.633933
    Oben rechts KachelX + 1 64704 KachelY 45761 -0.03988350 0.83136896 -2.285156 47.633933
    Unten links KachelX 64703 KachelY + 1 45762 -0.03993144 0.83133666 -2.287903 47.632082
    Unten rechts KachelX + 1 64704 KachelY + 1 45762 -0.03988350 0.83133666 -2.285156 47.632082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83136896-0.83133666) × R
    3.23000000000961e-05 × 6371000     		dl = 205.783300000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83136896-0.83133666) × R
    3.23000000000961e-05 × 6371000     		dr = 205.783300000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03993144--0.03988350) × cos(0.83136896) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.673864929481139 × 6371000     		do = 205.815694746809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03993144--0.03988350) × cos(0.83133666) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.673888794131817 × 6371000     		du = 205.822983625402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83136896)-sin(0.83133666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673864929481139-0.673888794131817)×R²
    abs(-0.03988350--0.03993144)×2.38646506778295e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38646506778295e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38646506778295e-05×40589641000000     		ar = 42354.182825284m²