Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64687 / 45031
↖ ↑ ↗
← N 48.967597°
W  2.331848°		 ← 200.51 m → N 48.967597°
W  2.329102°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
N 48.965794°
W  2.331848°		 ← 200.51 m →
40 202 m²		 N 48.965794°
W  2.329102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493526458740234 y=0.343563079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493526458740234 × 217)
    floor (0.493526458740234 × 131072)
    floor (64687.5)     		tx = 64687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343563079833984 × 217)
    floor (0.343563079833984 × 131072)
    floor (45031.5)     		ty = 45031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64687 / 45031 ti = "17/64687/45031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64687/45031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64687 ÷ 217
    64687 ÷ 131072     		x = 0.493522644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45031 ÷ 217
    45031 ÷ 131072     		y = 0.343559265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493522644042969 × 2 - 1) × π
    -0.0129547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04069843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343559265136719 × 2 - 1) × π
    0.312881469726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.982946126709251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04069843} λ = -0.04069843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982946126709251))-π/2
    2×atan(2.67231764228398)-π/2
    2×1.21272106007711-π/2
    2.42544212015421-1.57079632675     		φ = 0.85464579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04069843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.331848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85464579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.967597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64687 KachelY 45031 -0.04069843 0.85464579 -2.331848 48.967597
    Oben rechts KachelX + 1 64688 KachelY 45031 -0.04065049 0.85464579 -2.329102 48.967597
    Unten links KachelX 64687 KachelY + 1 45032 -0.04069843 0.85461432 -2.331848 48.965794
    Unten rechts KachelX + 1 64688 KachelY + 1 45032 -0.04065049 0.85461432 -2.329102 48.965794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85464579-0.85461432) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dl = 200.495369999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85464579-0.85461432) × R
    3.14699999999224e-05 × 6371000     		dr = 200.495369999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04069843--0.04065049) × cos(0.85464579) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.656485745131278 × 6371000     		do = 200.507644506186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04069843--0.04065049) × cos(0.85461432) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.656509483836576 × 6371000     		du = 200.514894917818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85464579)-sin(0.85461432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656485745131278-0.656509483836576)×R²
    abs(-0.04065049--0.04069843)×2.37387052980376e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37387052980376e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37387052980376e-05×40589641000000     		ar = 40201.5812131611m²