Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64687 / 44862
↖ ↑ ↗
← N 49.271389°
W  2.331848°		 ← 199.28 m → N 49.271389°
W  2.329102°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
N 49.269596°
W  2.331848°		 ← 199.29 m →
39 715 m²		 N 49.269596°
W  2.329102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493526458740234 y=0.342273712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493526458740234 × 217)
    floor (0.493526458740234 × 131072)
    floor (64687.5)     		tx = 64687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342273712158203 × 217)
    floor (0.342273712158203 × 131072)
    floor (44862.5)     		ty = 44862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64687 / 44862 ti = "17/64687/44862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64687/44862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64687 ÷ 217
    64687 ÷ 131072     		x = 0.493522644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44862 ÷ 217
    44862 ÷ 131072     		y = 0.342269897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493522644042969 × 2 - 1) × π
    -0.0129547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04069843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342269897460938 × 2 - 1) × π
    0.315460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.991047462745041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04069843} λ = -0.04069843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991047462745041))-π/2
    2×atan(2.69405491709474)-π/2
    2×1.21537214456311-π/2
    2.43074428912622-1.57079632675     		φ = 0.85994796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04069843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.331848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85994796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.271389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64687 KachelY 44862 -0.04069843 0.85994796 -2.331848 49.271389
    Oben rechts KachelX + 1 64688 KachelY 44862 -0.04065049 0.85994796 -2.329102 49.271389
    Unten links KachelX 64687 KachelY + 1 44863 -0.04069843 0.85991668 -2.331848 49.269596
    Unten rechts KachelX + 1 64688 KachelY + 1 44863 -0.04065049 0.85991668 -2.329102 49.269596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85994796-0.85991668) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dl = 199.284879999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85994796-0.85991668) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dr = 199.284879999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04069843--0.04065049) × cos(0.85994796) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.652476905407554 × 6371000     		do = 199.283241667026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04069843--0.04065049) × cos(0.85991668) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.652500609341636 × 6371000     		du = 199.290481458634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85994796)-sin(0.85991668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652476905407554-0.652500609341636)×R²
    abs(-0.04065049--0.04069843)×2.3703934082131e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.3703934082131e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.3703934082131e-05×40589641000000     		ar = 39714.8582952677m²