Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64686 / 45147
↖ ↑ ↗
← N 48.758000°
W  2.334594°		 ← 201.31 m → N 48.758000°
W  2.331848°		 →
↑
201.39 m
↓
↑
201.39 m
↓
N 48.756188°
W  2.334594°		 ← 201.31 m →
40 541 m²		 N 48.756188°
W  2.331848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493518829345703 y=0.344448089599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493518829345703 × 217)
    floor (0.493518829345703 × 131072)
    floor (64686.5)     		tx = 64686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344448089599609 × 217)
    floor (0.344448089599609 × 131072)
    floor (45147.5)     		ty = 45147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64686 / 45147 ti = "17/64686/45147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64686/45147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64686 ÷ 217
    64686 ÷ 131072     		x = 0.493515014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45147 ÷ 217
    45147 ÷ 131072     		y = 0.344444274902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493515014648438 × 2 - 1) × π
    -0.012969970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04074636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344444274902344 × 2 - 1) × π
    0.311111450195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.977385446353325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04074636} λ = -0.04074636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977385446353325))-π/2
    2×atan(2.65749897717989)-π/2
    2×1.21089197697139-π/2
    2.42178395394278-1.57079632675     		φ = 0.85098763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04074636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.334594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85098763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.758000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64686 KachelY 45147 -0.04074636 0.85098763 -2.334594 48.758000
    Oben rechts KachelX + 1 64687 KachelY 45147 -0.04069843 0.85098763 -2.331848 48.758000
    Unten links KachelX 64686 KachelY + 1 45148 -0.04074636 0.85095602 -2.334594 48.756188
    Unten rechts KachelX + 1 64687 KachelY + 1 45148 -0.04069843 0.85095602 -2.331848 48.756188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85098763-0.85095602) × R
    3.16099999999597e-05 × 6371000     		dl = 201.387309999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85098763-0.85095602) × R
    3.16099999999597e-05 × 6371000     		dr = 201.387309999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04074636--0.04069843) × cos(0.85098763) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.659240837061028 × 6371000     		do = 201.307120263861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04074636--0.04069843) × cos(0.85095602) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.659264605297694 × 6371000     		du = 201.314378180859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85098763)-sin(0.85095602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659240837061028-0.659264605297694)×R²
    abs(-0.04069843--0.04074636)×2.37682366664993e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37682366664993e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37682366664993e-05×40589641000000     		ar = 40541.4302631727m²