Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64686 / 43767
↖ ↑ ↗
← N 51.194837°
W  2.334594°		 ← 191.36 m → N 51.194837°
W  2.331848°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
N 51.193116°
W  2.334594°		 ← 191.37 m →
36 625 m²		 N 51.193116°
W  2.331848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493518829345703 y=0.333919525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493518829345703 × 217)
    floor (0.493518829345703 × 131072)
    floor (64686.5)     		tx = 64686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333919525146484 × 217)
    floor (0.333919525146484 × 131072)
    floor (43767.5)     		ty = 43767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64686 / 43767 ti = "17/64686/43767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64686/43767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64686 ÷ 217
    64686 ÷ 131072     		x = 0.493515014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43767 ÷ 217
    43767 ÷ 131072     		y = 0.333915710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493515014648438 × 2 - 1) × π
    -0.012969970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04074636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333915710449219 × 2 - 1) × π
    0.332168579101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.043538367829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04074636} λ = -0.04074636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.043538367829))-π/2
    2×atan(2.83924555668905)-π/2
    2×1.23215739175999-π/2
    2.46431478351998-1.57079632675     		φ = 0.89351846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04074636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.334594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89351846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.194837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64686 KachelY 43767 -0.04074636 0.89351846 -2.334594 51.194837
    Oben rechts KachelX + 1 64687 KachelY 43767 -0.04069843 0.89351846 -2.331848 51.194837
    Unten links KachelX 64686 KachelY + 1 43768 -0.04074636 0.89348842 -2.334594 51.193116
    Unten rechts KachelX + 1 64687 KachelY + 1 43768 -0.04069843 0.89348842 -2.331848 51.193116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89351846-0.89348842) × R
    3.00400000000645e-05 × 6371000     		dl = 191.384840000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89351846-0.89348842) × R
    3.00400000000645e-05 × 6371000     		dr = 191.384840000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04074636--0.04069843) × cos(0.89351846) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626674040435844 × 6371000     		do = 191.362457135798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04074636--0.04069843) × cos(0.89348842) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626697449769167 × 6371000     		du = 191.369605457342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89351846)-sin(0.89348842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626674040435844-0.626697449769167)×R²
    abs(-0.04069843--0.04074636)×2.34093333233432e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34093333233432e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34093333233432e-05×40589641000000     		ar = 36624.5572838564m²