Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64671 / 48799
↖ ↑ ↗
← N 41.707779°
W  2.375794°		 ← 228.01 m → N 41.707779°
W  2.373047°		 →
↑
228.02 m
↓
↑
228.02 m
↓
N 41.705729°
W  2.375794°		 ← 228.02 m →
51 992 m²		 N 41.705729°
W  2.373047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493404388427734 y=0.372310638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493404388427734 × 217)
    floor (0.493404388427734 × 131072)
    floor (64671.5)     		tx = 64671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372310638427734 × 217)
    floor (0.372310638427734 × 131072)
    floor (48799.5)     		ty = 48799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64671 / 48799 ti = "17/64671/48799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64671/48799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64671 ÷ 217
    64671 ÷ 131072     		x = 0.493400573730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48799 ÷ 217
    48799 ÷ 131072     		y = 0.372306823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493400573730469 × 2 - 1) × π
    -0.0131988525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04146542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372306823730469 × 2 - 1) × π
    0.255386352539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.80231988894088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04146542} λ = -0.04146542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.80231988894088))-π/2
    2×atan(2.23070992971609)-π/2
    2×1.14936719703598-π/2
    2.29873439407197-1.57079632675     		φ = 0.72793807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04146542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.375794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72793807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.707779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64671 KachelY 48799 -0.04146542 0.72793807 -2.375794 41.707779
    Oben rechts KachelX + 1 64672 KachelY 48799 -0.04141748 0.72793807 -2.373047 41.707779
    Unten links KachelX 64671 KachelY + 1 48800 -0.04146542 0.72790228 -2.375794 41.705729
    Unten rechts KachelX + 1 64672 KachelY + 1 48800 -0.04141748 0.72790228 -2.373047 41.705729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72793807-0.72790228) × R
    3.578999999998e-05 × 6371000     		dl = 228.018089999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72793807-0.72790228) × R
    3.578999999998e-05 × 6371000     		dr = 228.018089999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04146542--0.04141748) × cos(0.72793807) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.746547855802494 × 6371000     		do = 228.014931303905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04146542--0.04141748) × cos(0.72790228) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.746571667546648 × 6371000     		du = 228.022204023485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72793807)-sin(0.72790228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746547855802494-0.746571667546648)×R²
    abs(-0.04141748--0.04146542)×2.3811744154667e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.3811744154667e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.3811744154667e-05×40589641000000     		ar = 51992.3582888266m²