Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64661 / 47763
↖ ↑ ↗
← N 43.796872°
W  2.403259°		 ← 220.46 m → N 43.796872°
W  2.400513°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
N 43.794889°
W  2.403259°		 ← 220.46 m →
48 597 m²		 N 43.794889°
W  2.400513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493328094482422 y=0.364406585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493328094482422 × 217)
    floor (0.493328094482422 × 131072)
    floor (64661.5)     		tx = 64661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364406585693359 × 217)
    floor (0.364406585693359 × 131072)
    floor (47763.5)     		ty = 47763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64661 / 47763 ti = "17/64661/47763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64661/47763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64661 ÷ 217
    64661 ÷ 131072     		x = 0.493324279785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47763 ÷ 217
    47763 ÷ 131072     		y = 0.364402770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493324279785156 × 2 - 1) × π
    -0.0133514404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04194479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364402770996094 × 2 - 1) × π
    0.271194458007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.851982516947258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04194479} λ = -0.04194479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851982516947258))-π/2
    2×atan(2.3442898423434)-π/2
    2×1.1675979689836-π/2
    2.3351959379672-1.57079632675     		φ = 0.76439961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04194479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.403259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76439961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.796872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64661 KachelY 47763 -0.04194479 0.76439961 -2.403259 43.796872
    Oben rechts KachelX + 1 64662 KachelY 47763 -0.04189685 0.76439961 -2.400513 43.796872
    Unten links KachelX 64661 KachelY + 1 47764 -0.04194479 0.76436501 -2.403259 43.794889
    Unten rechts KachelX + 1 64662 KachelY + 1 47764 -0.04189685 0.76436501 -2.400513 43.794889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76439961-0.76436501) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76439961-0.76436501) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04194479--0.04189685) × cos(0.76439961) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.721798019682515 × 6371000     		do = 220.455694292082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04194479--0.04189685) × cos(0.76436501) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.721821966040657 × 6371000     		du = 220.463008126237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76439961)-sin(0.76436501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721798019682515-0.721821966040657)×R²
    abs(-0.04189685--0.04194479)×2.39463581417354e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39463581417354e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39463581417354e-05×40589641000000     		ar = 48597.3098237316m²