Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64657 / 44932
↖ ↑ ↗
← N 49.145784°
W  2.414245°		 ← 199.75 m → N 49.145784°
W  2.411499°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
N 49.143987°
W  2.414245°		 ← 199.76 m →
39 909 m²		 N 49.143987°
W  2.411499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493297576904297 y=0.342807769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493297576904297 × 217)
    floor (0.493297576904297 × 131072)
    floor (64657.5)     		tx = 64657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342807769775391 × 217)
    floor (0.342807769775391 × 131072)
    floor (44932.5)     		ty = 44932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64657 / 44932 ti = "17/64657/44932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64657/44932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64657 ÷ 217
    64657 ÷ 131072     		x = 0.493293762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44932 ÷ 217
    44932 ÷ 131072     		y = 0.342803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493293762207031 × 2 - 1) × π
    -0.0134124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04213653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342803955078125 × 2 - 1) × π
    0.31439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.987691879771637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04213653} λ = -0.04213653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987691879771637))-π/2
    2×atan(2.68502994277898)-π/2
    2×1.21427603218943-π/2
    2.42855206437886-1.57079632675     		φ = 0.85775574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04213653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.414245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85775574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.145784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64657 KachelY 44932 -0.04213653 0.85775574 -2.414245 49.145784
    Oben rechts KachelX + 1 64658 KachelY 44932 -0.04208860 0.85775574 -2.411499 49.145784
    Unten links KachelX 64657 KachelY + 1 44933 -0.04213653 0.85772438 -2.414245 49.143987
    Unten rechts KachelX + 1 64658 KachelY + 1 44933 -0.04208860 0.85772438 -2.411499 49.143987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85775574-0.85772438) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dl = 199.794560000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85775574-0.85772438) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dr = 199.794560000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04213653--0.04208860) × cos(0.85775574) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654136619420352 × 6371000     		do = 199.748486003543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04213653--0.04208860) × cos(0.85772438) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654160339063108 × 6371000     		du = 199.755729081806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85775574)-sin(0.85772438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654136619420352-0.654160339063108)×R²
    abs(-0.04208860--0.04213653)×2.37196427560482e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37196427560482e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37196427560482e-05×40589641000000     		ar = 39909.3844389532m²