Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64653 / 44940
↖ ↑ ↗
← N 49.131408°
W  2.425232°		 ← 199.81 m → N 49.131408°
W  2.422486°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
N 49.129611°
W  2.425232°		 ← 199.81 m →
39 921 m²		 N 49.129611°
W  2.422486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493267059326172 y=0.342868804931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493267059326172 × 217)
    floor (0.493267059326172 × 131072)
    floor (64653.5)     		tx = 64653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342868804931641 × 217)
    floor (0.342868804931641 × 131072)
    floor (44940.5)     		ty = 44940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64653 / 44940 ti = "17/64653/44940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64653/44940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64653 ÷ 217
    64653 ÷ 131072     		x = 0.493263244628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44940 ÷ 217
    44940 ÷ 131072     		y = 0.342864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493263244628906 × 2 - 1) × π
    -0.0134735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04232828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342864990234375 × 2 - 1) × π
    0.31427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.987308384574677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04232828} λ = -0.04232828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987308384574677))-π/2
    2×atan(2.68400044410874)-π/2
    2×1.21415058487138-π/2
    2.42830116974275-1.57079632675     		φ = 0.85750484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04232828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.425232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85750484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.131408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64653 KachelY 44940 -0.04232828 0.85750484 -2.425232 49.131408
    Oben rechts KachelX + 1 64654 KachelY 44940 -0.04228035 0.85750484 -2.422486 49.131408
    Unten links KachelX 64653 KachelY + 1 44941 -0.04232828 0.85747348 -2.425232 49.129611
    Unten rechts KachelX + 1 64654 KachelY + 1 44941 -0.04228035 0.85747348 -2.422486 49.129611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85750484-0.85747348) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dl = 199.794560000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85750484-0.85747348) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dr = 199.794560000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04232828--0.04228035) × cos(0.85750484) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654326373671995 × 6371000     		do = 199.806429747026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04232828--0.04228035) × cos(0.85747348) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654350088167018 × 6371000     		du = 199.813671253366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85750484)-sin(0.85747348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654326373671995-0.654350088167018)×R²
    abs(-0.04228035--0.04232828)×2.37144950228085e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37144950228085e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37144950228085e-05×40589641000000     		ar = 39920.9611265458m²