Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64649 / 43773
↖ ↑ ↗
← N 51.184508°
W  2.436218°		 ← 191.45 m → N 51.184508°
W  2.433472°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
N 51.182786°
W  2.436218°		 ← 191.45 m →
36 653 m²		 N 51.182786°
W  2.433472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493236541748047 y=0.333965301513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493236541748047 × 217)
    floor (0.493236541748047 × 131072)
    floor (64649.5)     		tx = 64649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333965301513672 × 217)
    floor (0.333965301513672 × 131072)
    floor (43773.5)     		ty = 43773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64649 / 43773 ti = "17/64649/43773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64649/43773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64649 ÷ 217
    64649 ÷ 131072     		x = 0.493232727050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43773 ÷ 217
    43773 ÷ 131072     		y = 0.333961486816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493232727050781 × 2 - 1) × π
    -0.0135345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04252003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333961486816406 × 2 - 1) × π
    0.332077026367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.04325074643128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04252003} λ = -0.04252003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04325074643128))-π/2
    2×atan(2.83842904634211)-π/2
    2×1.23206725922771-π/2
    2.46413451845542-1.57079632675     		φ = 0.89333819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04252003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.436218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89333819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.184508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64649 KachelY 43773 -0.04252003 0.89333819 -2.436218 51.184508
    Oben rechts KachelX + 1 64650 KachelY 43773 -0.04247209 0.89333819 -2.433472 51.184508
    Unten links KachelX 64649 KachelY + 1 43774 -0.04252003 0.89330814 -2.436218 51.182786
    Unten rechts KachelX + 1 64650 KachelY + 1 43774 -0.04247209 0.89330814 -2.433472 51.182786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89333819-0.89330814) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89333819-0.89330814) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04252003--0.04247209) × cos(0.89333819) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.626814511327425 × 6371000     		do = 191.44528596493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04252003--0.04247209) × cos(0.89330814) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.626837925058167 × 6371000     		du = 191.452437120968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89333819)-sin(0.89330814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626814511327425-0.626837925058167)×R²
    abs(-0.04247209--0.04252003)×2.34137307416615e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.34137307416615e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.34137307416615e-05×40589641000000     		ar = 36652.6069443534m²