Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64640 / 45176
↖ ↑ ↗
← N 48.705463°
W  2.460937°		 ← 201.52 m → N 48.705463°
W  2.458191°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
N 48.703651°
W  2.460937°		 ← 201.52 m →
40 609 m²		 N 48.703651°
W  2.458191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493167877197266 y=0.344669342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493167877197266 × 217)
    floor (0.493167877197266 × 131072)
    floor (64640.5)     		tx = 64640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344669342041016 × 217)
    floor (0.344669342041016 × 131072)
    floor (45176.5)     		ty = 45176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64640 / 45176 ti = "17/64640/45176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64640/45176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64640 ÷ 217
    64640 ÷ 131072     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45176 ÷ 217
    45176 ÷ 131072     		y = 0.34466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34466552734375 × 2 - 1) × π
    0.3106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.975995276264343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975995276264343))-π/2
    2×atan(2.65380716830601)-π/2
    2×1.21043350900798-π/2
    2.42086701801596-1.57079632675     		φ = 0.85007069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85007069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.705463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64640 KachelY 45176 -0.04295146 0.85007069 -2.460937 48.705463
    Oben rechts KachelX + 1 64641 KachelY 45176 -0.04290353 0.85007069 -2.458191 48.705463
    Unten links KachelX 64640 KachelY + 1 45177 -0.04295146 0.85003906 -2.460937 48.703651
    Unten rechts KachelX + 1 64641 KachelY + 1 45177 -0.04290353 0.85003906 -2.458191 48.703651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85007069-0.85003906) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dl = 201.514730000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85007069-0.85003906) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dr = 201.514730000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.04290353) × cos(0.85007069) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.659930036224194 × 6371000     		do = 201.517575519371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.04290353) × cos(0.85003906) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.659953800368902 × 6371000     		du = 201.52483218684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85007069)-sin(0.85003906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659930036224194-0.659953800368902)×R²
    abs(-0.04290353--0.04295146)×2.37641447081716e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.37641447081716e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.37641447081716e-05×40589641000000     		ar = 40609.4909872596m²