Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64639 / 44937
↖ ↑ ↗
← N 49.136800°
W  2.463684°		 ← 199.83 m → N 49.136800°
W  2.460937°		 →
↑
199.86 m
↓
↑
199.86 m
↓
N 49.135002°
W  2.463684°		 ← 199.83 m →
39 938 m²		 N 49.135002°
W  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493160247802734 y=0.342845916748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493160247802734 × 217)
    floor (0.493160247802734 × 131072)
    floor (64639.5)     		tx = 64639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342845916748047 × 217)
    floor (0.342845916748047 × 131072)
    floor (44937.5)     		ty = 44937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64639 / 44937 ti = "17/64639/44937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64639/44937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64639 ÷ 217
    64639 ÷ 131072     		x = 0.493156433105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44937 ÷ 217
    44937 ÷ 131072     		y = 0.342842102050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493156433105469 × 2 - 1) × π
    -0.0136871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04299940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342842102050781 × 2 - 1) × π
    0.314315795898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.987452195273537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04299940} λ = -0.04299940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987452195273537))-π/2
    2×atan(2.68438645984428)-π/2
    2×1.21419763187943-π/2
    2.42839526375885-1.57079632675     		φ = 0.85759894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04299940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.463684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85759894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.136800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64639 KachelY 44937 -0.04299940 0.85759894 -2.463684 49.136800
    Oben rechts KachelX + 1 64640 KachelY 44937 -0.04295146 0.85759894 -2.460937 49.136800
    Unten links KachelX 64639 KachelY + 1 44938 -0.04299940 0.85756757 -2.463684 49.135002
    Unten rechts KachelX + 1 64640 KachelY + 1 44938 -0.04295146 0.85756757 -2.460937 49.135002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85759894-0.85756757) × R
    3.13700000000861e-05 × 6371000     		dl = 199.858270000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85759894-0.85756757) × R
    3.13700000000861e-05 × 6371000     		dr = 199.858270000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04299940--0.04295146) × cos(0.85759894) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.654255211200562 × 6371000     		do = 199.826382029801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04299940--0.04295146) × cos(0.85756757) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.654278935188949 × 6371000     		du = 199.83362794651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85759894)-sin(0.85756757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654255211200562-0.654278935188949)×R²
    abs(-0.04295146--0.04299940)×2.37239883873475e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37239883873475e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37239883873475e-05×40589641000000     		ar = 39937.6790944089m²