Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64609 / 47779
↖ ↑ ↗
← N 43.765143°
W  2.546082°		 ← 220.57 m → N 43.765143°
W  2.543335°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
N 43.763160°
W  2.546082°		 ← 220.58 m →
48 651 m²		 N 43.763160°
W  2.543335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492931365966797 y=0.364528656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492931365966797 × 217)
    floor (0.492931365966797 × 131072)
    floor (64609.5)     		tx = 64609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364528656005859 × 217)
    floor (0.364528656005859 × 131072)
    floor (47779.5)     		ty = 47779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64609 / 47779 ti = "17/64609/47779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64609/47779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64609 ÷ 217
    64609 ÷ 131072     		x = 0.492927551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47779 ÷ 217
    47779 ÷ 131072     		y = 0.364524841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492927551269531 × 2 - 1) × π
    -0.0141448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04443751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364524841308594 × 2 - 1) × π
    0.270950317382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.851215526553337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04443751} λ = -0.04443751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851215526553337))-π/2
    2×atan(2.34249248392019)-π/2
    2×1.16732108944189-π/2
    2.33464217888378-1.57079632675     		φ = 0.76384585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04443751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.546082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76384585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.765143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64609 KachelY 47779 -0.04443751 0.76384585 -2.546082 43.765143
    Oben rechts KachelX + 1 64610 KachelY 47779 -0.04438957 0.76384585 -2.543335 43.765143
    Unten links KachelX 64609 KachelY + 1 47780 -0.04443751 0.76381123 -2.546082 43.763160
    Unten rechts KachelX + 1 64610 KachelY + 1 47780 -0.04438957 0.76381123 -2.543335 43.763160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76384585-0.76381123) × R
    3.46200000000962e-05 × 6371000     		dl = 220.564020000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76384585-0.76381123) × R
    3.46200000000962e-05 × 6371000     		dr = 220.564020000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04443751--0.04438957) × cos(0.76384585) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722181168373007 × 6371000     		do = 220.572717764373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04443751--0.04438957) × cos(0.76381123) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722205114731109 × 6371000     		du = 220.580031598517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76384585)-sin(0.76381123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722181168373007-0.722205114731109)×R²
    abs(-0.04438957--0.04443751)×2.39463581014343e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39463581014343e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39463581014343e-05×40589641000000     		ar = 48651.2119217741m²