Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64608 / 47839
↖ ↑ ↗
← N 43.646013°
W  2.548828°		 ← 220.97 m → N 43.646013°
W  2.546082°		 →
↑
221.01 m
↓
↑
221.01 m
↓
N 43.644026°
W  2.548828°		 ← 220.97 m →
48 836 m²		 N 43.644026°
W  2.546082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492923736572266 y=0.364986419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492923736572266 × 217)
    floor (0.492923736572266 × 131072)
    floor (64608.5)     		tx = 64608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364986419677734 × 217)
    floor (0.364986419677734 × 131072)
    floor (47839.5)     		ty = 47839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64608 / 47839 ti = "17/64608/47839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64608/47839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64608 ÷ 217
    64608 ÷ 131072     		x = 0.492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47839 ÷ 217
    47839 ÷ 131072     		y = 0.364982604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.01416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04448544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364982604980469 × 2 - 1) × π
    0.270034790039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.848339312576134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04448544} λ = -0.04448544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.848339312576134))-π/2
    2×atan(2.33576465427334)-π/2
    2×1.16628148260658-π/2
    2.33256296521315-1.57079632675     		φ = 0.76176664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04448544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.548828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76176664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.646013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64608 KachelY 47839 -0.04448544 0.76176664 -2.548828 43.646013
    Oben rechts KachelX + 1 64609 KachelY 47839 -0.04443751 0.76176664 -2.546082 43.646013
    Unten links KachelX 64608 KachelY + 1 47840 -0.04448544 0.76173195 -2.548828 43.644026
    Unten rechts KachelX + 1 64609 KachelY + 1 47840 -0.04443751 0.76173195 -2.546082 43.644026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76176664-0.76173195) × R
    3.46900000000039e-05 × 6371000     		dl = 221.009990000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76176664-0.76173195) × R
    3.46900000000039e-05 × 6371000     		dr = 221.009990000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04448544--0.04443751) × cos(0.76176664) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.723617804079779 × 6371000     		do = 220.965401597951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04448544--0.04443751) × cos(0.76173195) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.723641746713376 × 6371000     		du = 220.97271276915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76176664)-sin(0.76173195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723617804079779-0.723641746713376)×R²
    abs(-0.04443751--0.04448544)×2.39426335970627e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39426335970627e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39426335970627e-05×40589641000000     		ar = 48836.369123353m²