Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64604 / 47852
↖ ↑ ↗
← N 43.620171°
W  2.559814°		 ← 221.11 m → N 43.620171°
W  2.557068°		 →
↑
221.14 m
↓
↑
221.14 m
↓
N 43.618182°
W  2.559814°		 ← 221.11 m →
48 896 m²		 N 43.618182°
W  2.557068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492893218994141 y=0.365085601806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492893218994141 × 217)
    floor (0.492893218994141 × 131072)
    floor (64604.5)     		tx = 64604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365085601806641 × 217)
    floor (0.365085601806641 × 131072)
    floor (47852.5)     		ty = 47852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64604 / 47852 ti = "17/64604/47852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64604/47852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64604 ÷ 217
    64604 ÷ 131072     		x = 0.492889404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47852 ÷ 217
    47852 ÷ 131072     		y = 0.365081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492889404296875 × 2 - 1) × π
    -0.01422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04467719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365081787109375 × 2 - 1) × π
    0.26983642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.847716132881073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04467719} λ = -0.04467719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.847716132881073))-π/2
    2×atan(2.33430950662468)-π/2
    2×1.16605596215578-π/2
    2.33211192431155-1.57079632675     		φ = 0.76131560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04467719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.559814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76131560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.620171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64604 KachelY 47852 -0.04467719 0.76131560 -2.559814 43.620171
    Oben rechts KachelX + 1 64605 KachelY 47852 -0.04462925 0.76131560 -2.557068 43.620171
    Unten links KachelX 64604 KachelY + 1 47853 -0.04467719 0.76128089 -2.559814 43.618182
    Unten rechts KachelX + 1 64605 KachelY + 1 47853 -0.04462925 0.76128089 -2.557068 43.618182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76131560-0.76128089) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dl = 221.137409999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76131560-0.76128089) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dr = 221.137409999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04467719--0.04462925) × cos(0.76131560) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.723929038674958 × 6371000     		do = 221.106562344771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04467719--0.04462925) × cos(0.76128089) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.723952983780777 × 6371000     		du = 221.113875796435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76131560)-sin(0.76128089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723929038674958-0.723952983780777)×R²
    abs(-0.04462925--0.04467719)×2.39451058190454e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39451058190454e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39451058190454e-05×40589641000000     		ar = 48895.741174859m²