Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64600 / 47832
↖ ↑ ↗
← N 43.659924°
W  2.570801°		 ← 220.96 m → N 43.659924°
W  2.568054°		 →
↑
220.95 m
↓
↑
220.95 m
↓
N 43.657937°
W  2.570801°		 ← 220.97 m →
48 821 m²		 N 43.657937°
W  2.568054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492862701416016 y=0.364933013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492862701416016 × 217)
    floor (0.492862701416016 × 131072)
    floor (64600.5)     		tx = 64600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364933013916016 × 217)
    floor (0.364933013916016 × 131072)
    floor (47832.5)     		ty = 47832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64600 / 47832 ti = "17/64600/47832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64600/47832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64600 ÷ 217
    64600 ÷ 131072     		x = 0.49285888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47832 ÷ 217
    47832 ÷ 131072     		y = 0.36492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.0142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04486894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36492919921875 × 2 - 1) × π
    0.2701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.848674870873474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04486894} λ = -0.04486894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.848674870873474))-π/2
    2×atan(2.33654857100124)-π/2
    2×1.16640287652658-π/2
    2.33280575305316-1.57079632675     		φ = 0.76200943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04486894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.570801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76200943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.659924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64600 KachelY 47832 -0.04486894 0.76200943 -2.570801 43.659924
    Oben rechts KachelX + 1 64601 KachelY 47832 -0.04482100 0.76200943 -2.568054 43.659924
    Unten links KachelX 64600 KachelY + 1 47833 -0.04486894 0.76197475 -2.570801 43.657937
    Unten rechts KachelX + 1 64601 KachelY + 1 47833 -0.04482100 0.76197475 -2.568054 43.657937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76200943-0.76197475) × R
    3.46799999999536e-05 × 6371000     		dl = 220.946279999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76200943-0.76197475) × R
    3.46799999999536e-05 × 6371000     		dr = 220.946279999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04486894--0.04482100) × cos(0.76200943) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.723450208878909 × 6371000     		do = 220.96031540001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04486894--0.04482100) × cos(0.76197475) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.723474150702974 × 6371000     		du = 220.967627849342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76200943)-sin(0.76197475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723450208878909-0.723474150702974)×R²
    abs(-0.04482100--0.04486894)×2.39418240652878e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39418240652878e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39418240652878e-05×40589641000000     		ar = 48821.1675493602m²