Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64586 / 45206
↖ ↑ ↗
← N 48.651057°
W  2.609253°		 ← 201.74 m → N 48.651057°
W  2.606506°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
N 48.649242°
W  2.609253°		 ← 201.74 m →
40 705 m²		 N 48.649242°
W  2.606506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492755889892578 y=0.344898223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492755889892578 × 217)
    floor (0.492755889892578 × 131072)
    floor (64586.5)     		tx = 64586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344898223876953 × 217)
    floor (0.344898223876953 × 131072)
    floor (45206.5)     		ty = 45206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64586 / 45206 ti = "17/64586/45206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64586/45206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64586 ÷ 217
    64586 ÷ 131072     		x = 0.492752075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45206 ÷ 217
    45206 ÷ 131072     		y = 0.344894409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492752075195312 × 2 - 1) × π
    -0.014495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04554005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344894409179688 × 2 - 1) × π
    0.310211181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.974557169275742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04554005} λ = -0.04554005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974557169275742))-π/2
    2×atan(2.64999345259376)-π/2
    2×1.20995872762963-π/2
    2.41991745525925-1.57079632675     		φ = 0.84912113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04554005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.609253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84912113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.651057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64586 KachelY 45206 -0.04554005 0.84912113 -2.609253 48.651057
    Oben rechts KachelX + 1 64587 KachelY 45206 -0.04549212 0.84912113 -2.606506 48.651057
    Unten links KachelX 64586 KachelY + 1 45207 -0.04554005 0.84908946 -2.609253 48.649242
    Unten rechts KachelX + 1 64587 KachelY + 1 45207 -0.04549212 0.84908946 -2.606506 48.649242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84912113-0.84908946) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84912113-0.84908946) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04554005--0.04549212) × cos(0.84912113) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.660643168720055 × 6371000     		do = 201.735339105995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04554005--0.04549212) × cos(0.84908946) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.660666943060139 × 6371000     		du = 201.742598886745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84912113)-sin(0.84908946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660643168720055-0.660666943060139)×R²
    abs(-0.04549212--0.04554005)×2.37743400838264e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37743400838264e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37743400838264e-05×40589641000000     		ar = 40704.7850299229m²