Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64568 / 45208
↖ ↑ ↗
← N 48.647428°
W  2.658691°		 ← 201.79 m → N 48.647428°
W  2.655945°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
N 48.645613°
W  2.658691°		 ← 201.80 m →
40 716 m²		 N 48.645613°
W  2.655945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492618560791016 y=0.344913482666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492618560791016 × 217)
    floor (0.492618560791016 × 131072)
    floor (64568.5)     		tx = 64568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344913482666016 × 217)
    floor (0.344913482666016 × 131072)
    floor (45208.5)     		ty = 45208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64568 / 45208 ti = "17/64568/45208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64568/45208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64568 ÷ 217
    64568 ÷ 131072     		x = 0.49261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45208 ÷ 217
    45208 ÷ 131072     		y = 0.34490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.0147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04640292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34490966796875 × 2 - 1) × π
    0.3101806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.974461295476502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04640292} λ = -0.04640292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974461295476502))-π/2
    2×atan(2.64973939983219)-π/2
    2×1.20992705730465-π/2
    2.41985411460929-1.57079632675     		φ = 0.84905779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04640292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.658691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84905779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.647428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64568 KachelY 45208 -0.04640292 0.84905779 -2.658691 48.647428
    Oben rechts KachelX + 1 64569 KachelY 45208 -0.04635498 0.84905779 -2.655945 48.647428
    Unten links KachelX 64568 KachelY + 1 45209 -0.04640292 0.84902612 -2.658691 48.645613
    Unten rechts KachelX + 1 64569 KachelY + 1 45209 -0.04635498 0.84902612 -2.655945 48.645613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84905779-0.84902612) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84905779-0.84902612) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04640292--0.04635498) × cos(0.84905779) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.660690716737581 × 6371000     		do = 201.79195107072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04640292--0.04635498) × cos(0.84902612) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.660714489752358 × 6371000     		du = 201.79921196135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84905779)-sin(0.84902612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660690716737581-0.660714489752358)×R²
    abs(-0.04635498--0.04640292)×2.37730147768511e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37730147768511e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37730147768511e-05×40589641000000     		ar = 40716.207713808m²