Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64555 / 45162
↖ ↑ ↗
← N 48.730832°
W  2.694397°		 ← 201.46 m → N 48.730832°
W  2.691650°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
N 48.729021°
W  2.694397°		 ← 201.47 m →
40 585 m²		 N 48.729021°
W  2.691650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492519378662109 y=0.344562530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492519378662109 × 217)
    floor (0.492519378662109 × 131072)
    floor (64555.5)     		tx = 64555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344562530517578 × 217)
    floor (0.344562530517578 × 131072)
    floor (45162.5)     		ty = 45162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64555 / 45162 ti = "17/64555/45162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64555/45162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64555 ÷ 217
    64555 ÷ 131072     		x = 0.492515563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45162 ÷ 217
    45162 ÷ 131072     		y = 0.344558715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492515563964844 × 2 - 1) × π
    -0.0149688720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04702610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344558715820312 × 2 - 1) × π
    0.310882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.976666392859024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04702610} λ = -0.04702610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976666392859024))-π/2
    2×atan(2.6555887801035)-π/2
    2×1.21065489817975-π/2
    2.4213097963595-1.57079632675     		φ = 0.85051347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04702610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.694397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85051347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.730832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64555 KachelY 45162 -0.04702610 0.85051347 -2.694397 48.730832
    Oben rechts KachelX + 1 64556 KachelY 45162 -0.04697816 0.85051347 -2.691650 48.730832
    Unten links KachelX 64555 KachelY + 1 45163 -0.04702610 0.85048185 -2.694397 48.729021
    Unten rechts KachelX + 1 64556 KachelY + 1 45163 -0.04697816 0.85048185 -2.691650 48.729021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85051347-0.85048185) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85051347-0.85048185) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04702610--0.04697816) × cos(0.85051347) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.659597298949554 × 6371000     		do = 201.457993133682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04702610--0.04697816) × cos(0.85048185) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.659621064818522 × 6371000     		du = 201.465251841799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85051347)-sin(0.85048185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659597298949554-0.659621064818522)×R²
    abs(-0.04697816--0.04702610)×2.37658689683506e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37658689683506e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37658689683506e-05×40589641000000     		ar = 40584.6493443384m²