Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64548 / 68540
↖ ↑ ↗
← S  8.222364°
W  2.713623°		 ← 302.29 m → S  8.222364°
W  2.710876°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.225082°
W  2.713623°		 ← 302.28 m →
91 382 m²		 S  8.225082°
W  2.710876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492465972900391 y=0.522922515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492465972900391 × 217)
    floor (0.492465972900391 × 131072)
    floor (64548.5)     		tx = 64548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522922515869141 × 217)
    floor (0.522922515869141 × 131072)
    floor (68540.5)     		ty = 68540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64548 / 68540 ti = "17/64548/68540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64548/68540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64548 ÷ 217
    64548 ÷ 131072     		x = 0.492462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68540 ÷ 217
    68540 ÷ 131072     		y = 0.522918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.01507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04736166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522918701171875 × 2 - 1) × π
    -0.04583740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.144002446458649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04736166} λ = -0.04736166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144002446458649))-π/2
    2×atan(0.865885629703226)-π/2
    2×0.713644502516315-π/2
    1.42728900503263-1.57079632675     		φ = -0.14350732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04736166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.713623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14350732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.222364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64548 KachelY 68540 -0.04736166 -0.14350732 -2.713623 -8.222364
    Oben rechts KachelX + 1 64549 KachelY 68540 -0.04731372 -0.14350732 -2.710876 -8.222364
    Unten links KachelX 64548 KachelY + 1 68541 -0.04736166 -0.14355477 -2.713623 -8.225082
    Unten rechts KachelX + 1 64549 KachelY + 1 68541 -0.04731372 -0.14355477 -2.710876 -8.225082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14350732--0.14355477) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14350732--0.14355477) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04736166--0.04731372) × cos(-0.14350732) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989720484396608 × 6371000     		do = 302.286111340013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04736166--0.04731372) × cos(-0.14355477) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989713697208647 × 6371000     		du = 302.284038358108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14350732)-sin(-0.14355477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989720484396608-0.989713697208647)×R²
    abs(-0.04731372--0.04736166)×6.78718796043309e-06×R²
    4.79400000000033e-05×6.78718796043309e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×6.78718796043309e-06×40589641000000     		ar = 91381.9721700365m²