Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64548 / 66562
↖ ↑ ↗
← S  2.816858°
W  2.713623°		 ← 305.06 m → S  2.816858°
W  2.710876°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.819601°
W  2.713623°		 ← 305.06 m →
93 055 m²		 S  2.819601°
W  2.710876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492465972900391 y=0.507831573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492465972900391 × 217)
    floor (0.492465972900391 × 131072)
    floor (64548.5)     		tx = 64548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507831573486328 × 217)
    floor (0.507831573486328 × 131072)
    floor (66562.5)     		ty = 66562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64548 / 66562 ti = "17/64548/66562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64548/66562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64548 ÷ 217
    64548 ÷ 131072     		x = 0.492462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66562 ÷ 217
    66562 ÷ 131072     		y = 0.507827758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.01507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04736166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507827758789062 × 2 - 1) × π
    -0.015655517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0491832590101776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04736166} λ = -0.04736166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0491832590101776))-π/2
    2×atan(0.952006649915151)-π/2
    2×0.760816442397264-π/2
    1.52163288479453-1.57079632675     		φ = -0.04916344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04736166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.713623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04916344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.816858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64548 KachelY 66562 -0.04736166 -0.04916344 -2.713623 -2.816858
    Oben rechts KachelX + 1 64549 KachelY 66562 -0.04731372 -0.04916344 -2.710876 -2.816858
    Unten links KachelX 64548 KachelY + 1 66563 -0.04736166 -0.04921132 -2.713623 -2.819601
    Unten rechts KachelX + 1 64549 KachelY + 1 66563 -0.04731372 -0.04921132 -2.710876 -2.819601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04916344--0.04921132) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04916344--0.04921132) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04736166--0.04731372) × cos(-0.04916344) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998791721484942 × 6371000     		do = 305.056700640433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04736166--0.04731372) × cos(-0.04921132) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998789367342724 × 6371000     		du = 305.055981624804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04916344)-sin(-0.04921132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998791721484942-0.998789367342724)×R²
    abs(-0.04731372--0.04736166)×2.35414221816388e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.35414221816388e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35414221816388e-06×40589641000000     		ar = 93055.4479129389m²