Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64545 / 47775
↖ ↑ ↗
← N 43.773077°
W  2.721863°		 ← 220.54 m → N 43.773077°
W  2.719116°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
N 43.771094°
W  2.721863°		 ← 220.55 m →
48 645 m²		 N 43.771094°
W  2.719116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492443084716797 y=0.364498138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492443084716797 × 217)
    floor (0.492443084716797 × 131072)
    floor (64545.5)     		tx = 64545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364498138427734 × 217)
    floor (0.364498138427734 × 131072)
    floor (47775.5)     		ty = 47775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64545 / 47775 ti = "17/64545/47775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64545/47775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64545 ÷ 217
    64545 ÷ 131072     		x = 0.492439270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47775 ÷ 217
    47775 ÷ 131072     		y = 0.364494323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492439270019531 × 2 - 1) × π
    -0.0151214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04750547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364494323730469 × 2 - 1) × π
    0.271011352539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.851407274151817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04750547} λ = -0.04750547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851407274151817))-π/2
    2×atan(2.34294169429457)-π/2
    2×1.16739032310246-π/2
    2.33478064620493-1.57079632675     		φ = 0.76398432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04750547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.721863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76398432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.773077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64545 KachelY 47775 -0.04750547 0.76398432 -2.721863 43.773077
    Oben rechts KachelX + 1 64546 KachelY 47775 -0.04745753 0.76398432 -2.719116 43.773077
    Unten links KachelX 64545 KachelY + 1 47776 -0.04750547 0.76394970 -2.721863 43.771094
    Unten rechts KachelX + 1 64546 KachelY + 1 47776 -0.04745753 0.76394970 -2.719116 43.771094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76398432-0.76394970) × R
    3.46200000000962e-05 × 6371000     		dl = 220.564020000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76398432-0.76394970) × R
    3.46200000000962e-05 × 6371000     		dr = 220.564020000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04750547--0.04745753) × cos(0.76398432) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.722085381203267 × 6371000     		do = 220.543461897205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04750547--0.04745753) × cos(0.76394970) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.722109331023211 × 6371000     		du = 220.550776788684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76398432)-sin(0.76394970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722085381203267-0.722109331023211)×R²
    abs(-0.04745753--0.04750547)×2.39498199439137e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.39498199439137e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39498199439137e-05×40589641000000     		ar = 48644.7592465821m²